Tükrözze a P (-5;13) pontot a 2x-3y=0 egyenletű egyenesre! Határozza a P tükörképének kordinátáit. Feladat. Egy egyelő szárú háromszög két csúcsa:A (-3;6) B (-7;4) harmadik csúcsa az y-2=0 egyenesen van. Határoza meg ez a csúcspontnak a kordinátáit?

Az első kérdésed megoldása így néz ki:

[link]

Remélem, a közben levő tennivalók mennek?!

Akkor itt van a második is. Ezt könnyebb kiszámolgatni:

[link]

A második feladatnak sok megoldása van, amit az előző válaszoló írt, az azok közül az egyik. A megoldásokat az fogja meghatározni, hogy a háromszög melyik oldalát tekintjük alapnak, a másik kettőt pedig szárnak.

Az első megoldás, amit az előző válaszoló is írt, jól megoldható szerkesztés-szerű módon, a többi már inkább egyenletmegoldással jön ki egyszerűbben.

A C=(x;y) pont rajta van az y-2=0 egyenesen. Az egyenes egyenletét átrendezve rögtön kijön, hogy y=2, csak az x-et kell kiszámolnunk.

1) Az egyenlő szárú háromszög alapja az AB szakasz, CA és CB a háromszög két szára, egyenlő hosszúak.

Ezt oldotta meg az előző válaszoló is geometriai alapon (vagyis szerkesztéssel).

Alternatív megoldás, algebrával (vagyis egyenlettel) (nem mondom, hogy jobb, csak más):

CA = CB

Mindkét szakaszhosszat Pitagorasz tételével számíthatunk ki:

CA² = (x-(-3))² + (y-6)² = (x+3)² + 16

CB² = (x-(-7))² + (y-4)² = (x+7)² + 4

Vagyis az (x+3)² + 16 = (x+7)² + 4 egyenletet megoldva ki tudjuk számolni x értékét. x² ki fog esni, egyszerű elsőfokú egyenlet lesz, megoldása x=-3,5

2) Az egyenlő szárú háromszög alapja a BC szakasz, AB és AC a háromszög két szára, egyenlő hosszúak.

AB = AC

AB² = (-3+7)²+(6-4)² = 16+4 = 20

AC² = (x+3)² + (2-6)² = (x+3)² + 16

A megoldandó egyenlet:

(x+3)² + 16 = 20

Ez másodfokú, megoldható a megoldóképlettel, de egyszerűbb szorzattá alakítással:

(x+3)² - 2² = 0

(x+3+2)(x+3-2) = 0

x1 = -5

x2 = -1

Vagyis két ilyen háromszög is van!

3) Az egyenlő szárú háromszög alapja az AC szakasz, AB és BC a háromszög két szára, egyenlő hosszúak.

AB = BC

AB² = 20

BC² = (x+7)² + (2-4)² = (x+7)² + 4

A megoldandó egyenlet:

(x+7)² + 4 = 20

Ez is másodfokú, megintcsak könnyű szorzattá alakítani:

(x+7)² - 16 = 0

(x+7+4)(x+7-4) = 0

x1 = -11

x2 = -3

Vagyis így is két pont jön ki. Viszont csak x2 ad háromszöget, x1-gyel az A,B,C pontok egy egyenesbe esnek, az nem megoldás.

Összesen tehát van 4 megoldás. A következő ábra mindegyiket mutatja; az azonos színű vonalak azonos hosszúak, azok az egyes háromszögekben a szárak:

[link]