Valaki le tudja nekem vezetni a térfogati hőtágulás bizonyítását?

Ha T0 hőmérsékleten a vizsgált téglatest oldalai a0b0c0, akkor V0=a0b0c0.

Az utolagos térfogat pedig V=abc.

Használjuk fel a vonalas hőtágulási törvényt:

V=abc=a0[1+α(T-T0)]b0[1+α(T-T0)]c0[1+α(T-T0)]=V0[1+α(T-T0)]^3

Innentől kezdve kibontod a köböt, tehát:

V=V0[1+3α(T-T0)+3α^2(T-T0)^2+α^3(T-T0)^3].

Ahol α^2 és α^3 elhanyagolhatóan kicsiny mennyiségek, tehát:

V=V0[1+3α(T-T0)]=V0[1+ß(T-T0)]

Tehát 3α=ß

Ha a lineáris hőtágulási tényező α, akkor egy L oldalú kocka minden oldala L·α·ΔT-vel nő. Térfogata tehát ennyi lesz:

V = (L + L·α·ΔT)³

V = L³(1 + α·ΔT)³

Itt L³ a kezdőtérfogat, V0.

A köb kifejtve:

V = V0·(1 + 3·α·ΔT + 3·α²·ΔT² + α³·ΔT³)

Mivel α kicsi szám, 10^(-5) nagyságrendű, ezért α² meg α³ már nagyon picik, elhanyagolhatóak:

V ≈ V0·(1 + 3·α·ΔT) = V0 + 3α·V0·ΔT

Ebben 3α = β a térfogati hőtágulási együttható.