Hogy kell megoldani ezt a feladatot?

Azért adták meg a gömb sugarát, mert nem tömegpontként viselkedik, hanem egy kiterjedéssel rendelkező dolog aminek tehetetlenségi nyomatéka van. A következő módon kell számolnod:

#1. Amíg a gömb a lejtőn gurul, addig a helyzeti energiája mozgási és forgási energiává alakul. A lejtő tetején nem mozog és nem forog, a helyzeti energiája ekkor a maximális. A lejtő magasságának megfelelő helyzeti energiáját teljes egészében mozgási és forgási energiává alakította. Tehát a számítás első lépés a következő:

kezdeti helyzeti energia = lejtő alján mozgási+forgási energia

A kezdeti helyzeti energia m*g.

A lejtő alján a mozgási + forgásit írd föl te. Mozgási: 1/2*m*v^2 a forgási meg 1/2*teta*omega^2 ahol teta a tehetetlenségi nyomaték és omega a szögsebesség. A szögsebességet ki lehet fejezni a sebességgel, ezért az egész egyenletben a sebesség lesz az egyetlen ismeretlen.

#2. Ha a sebesség megvan, meg a lejtő szöge is akkor már egyszerű...

Bocsi, nem olvastam el rendesen a feladatot. Elnéztem. Azt hittem hogy lejtő. Amúgy elég hülye feladat mert a pontszerű testnek nem szokása a gurulás dehát a középiskolás feladatok már csak ilyenek. :-)

Na ha kiszámoltad hogy milyen mélységben válik el, akkor a sebességét is tudod! Az energiamegmaradás törvényét kell használni. m magasságból m*g energia alakult át mozgási energiává. A mozgási energiában is szerepel a tömeg, ezért az kiesik (magyarul az elért sebesség független a tömegétől.)

m*g*h = m*v*v/2

ebből:

v = sqrt(g*h*2)

A sebességvektor irányát is tudod, mert ki tudod számolni hogy a körnek azon a pontján milyen irányú a gömb érintője. (A test mindenképp érintőirányban hagyja el a gömböt).

A kettőből ki tudod számítani a sebességvektor vízszintes irányú komponensét.

Illetve azt is ki tudod számolni, hogy a maradék magasságból mennyi idő alatt esik le.

A kettő szorzata megadja a távolságot az érintkezési ponttól.

Az tiszta geometria. Azon a ponton ahol a test elhagyja a gömböt, van egy érintő. Az érintő iránya megegyezik a sebességvektor irányával.

Tehát a kör értintőjének az irányát kell kiszámítanod. Ami nem nehéz, mivel megvan a gömb sugara, és megvan az is hogy a tetejétől milyen magasságban válik el tőle a test.

Az idő kiszámítása:

sv = vv0*t + g/2*t^2

Ahol vv0 a test kezdeti sebességének függőleges irányú komponense.

Ebből sv ismert (ennyit esik a test, az elválási pont és a talaj közötti távolság), vv0 ismert (az érintőirányú sebességvektor függőleges komponense a gömb elhagyásának pillanatában). g ismert (=9.81). Tehát t kifejezhető belőle.

g/2*t^2 + vv0*t - sv = 0 // -> másodfokú megoldóképlettel t-re megoldani

Az egyenletnek két gyöke van de nyilván a pozitívat kell figyelembe venni. Ennyi ideig esik a test.

Ez idő alatt vízszintes irányban ilyen távolságot tesz meg:

sh = vh0*t

Amiből vh0 az a test elhagyásakor az érintőirányú sebességvektor horizontális komponense, sh a horizontálisan megtett távolság, és t az esés ideje (amit már kiszámoltál az előző pontban).

Az elválási pont és a talajra érkezési pont közötti teljes távolság:

s = sqrt( sv^2 + sh^2 )

Azt nem írom le hogy a sebességvektor szögéből és nagyságából hogyan lehet kiszámítani a komponenseit, azt biztos tudod. :-)

> Mondjuk ez a "milyen messze" elég trükkös! Mert úgy is lehet érteni, hogy vízszintes vetületben milyen messzire.

Hülyeséget írtam megint. Csak úgy lehet érteni, mert a feladat a gömb földel való érintkezési pontjától kérdezi a távolságot. Tehát csak sh -ra van szükséged. Az a válasz a feladatra.