Mi a megoldása ennek a feladatnak? Mutasd meg, hogy az f (x) = (ln (3x^2+1) ) ^2 képlettel adott f : R → R függvény nem invertálható! Válassz egy olyan (nem 0 hosszú) intervallumot, amelyre megszorítva már invertálható, és add meg az inverzét!

Az invertálhatósághoz az kéne, hogy minden értéket max. egyszer vegyen fel a függvény. Mivel x^2 szerepel benne (és csak ebben van a változó), ezért pl. x=6 és x=-6 esetén ugyanazt a fgv-értéket veszi fel, vagyis nem invertálható.

Ha csak a pozitív x-ekre szorítkozunk, 3x^2+1>1.

Ennek logaritmusa emiatt pozitív, így ennek négyzete is bijektívnek hagyja a hozzárendelést, hiszen pozitív tartományon a négyzetfgv szig. mon. nő.

Tehát az 1-nél nagyobb számok halmazán invertálható.

Ezt úgy csináljuk, hogy az y=(ln(3x^2+1))^2 egyenletben kicseréljük x-et és y-t, majd y-ra rendezzük:

x=(ln(3y^2+1))^2

gyök(x)=ln(3y^2+1)

e^gyök(x)=3y^2+1

e^gyök(x)-1=3y^2

(e^gyök(x)-1)/3=y^2

y=gyök((e^gyök(x)-1)/3)