Hogyan kell bebizonyítani az összetett függvényekre vonatkozó deriválási szabályt?

F'(x0) = lim_(x->x0) [ F(x) - F(x0) ] / [ x - x0 ] = lim_(x->x0) [ f(g(x)) - f(g(x0)) ] / [ x - x0 ].

A lényeg, hogy itt bővítheted a törtet [ g(x) - g(x0) ] -lal:

F'(x0) = lim_(x->x0) { [ f(g(x)) - f(g(x0)) ] / [ g(x) - g(x0) ] } * { [ g(x) - g(x0) ] / [ g(x) - g(x0) ] }.

Ha az összetett függvény differenciálhatóságának feltételei teljesülnek (g differenciálható x0-ban, és f differenciálható g(x0)-ban, asszem), akkor az első {}-ben f'(g(x0)) van, a másodikban g'(x0). Tehát:

[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)