Kétváltozós határérték feladat: lim ( (gyök (x^2-xy) -gyök (xy) ) / (x-2y) ), ahol (x;y) -> (2;1) Milyen trükkel oldható meg ez a feladat?

A számlálót és a nevezőt is elosztod y-nal, ekkor a gyök alatt y^2-nel kell osztani ugye:

(gyök(x^2-xy) - gyök(xy))/(x-2y))=

(gyök(x^2/y^2/-x/y) - gyök(x/y))/(x/y-2))

"Csodás" módon mindenütt x/y jelent meg, így ez legyen az új változó: t=x/y

(gyök(t^2-t)-gyök(t))/(t-2))

ezt bővítsük a "gyökök összegével", és használjuk a nevezetes azonosságot:

(t^2-t-t)/((t-2)*(gyök(t^2-t)+gyök(t)))=

(t^2-2t)/((t-2)*(gyök(t^2-t)+gyök(t)))=

(t*(t-2))/((t-2)*(gyök(t^2-t)+gyök(t)))

egyszerűsíthetünk (t-2)-vel:

t/((gyök(t^2-t)+gyök(t)))

és ekkor mivel t tart 2-höz, és már a nevező nem tart 0-hoz, így a határérték simán 2/(2*gyök(2))=1/gyök(2)