Lenne itt egy határértékszámítás feladat ([10n + 2] osztva [10n − 2n] ) és az egész az n-ediken és n tart vétgelenhez. Ennek a végeredménye 1 lenne szimplán csak, vagy komolyabb a levezetése?

Nincs elírás a kérdésedben?

Nem erre gondoltál:

([10n + 2] osztva [10n − 2] ) és az egész az n-ediken és n tart végtelenhez?

Legyen 10n-2=k !

lim k->végtelenhez {[(k+4)/k)]^[(k+2)/10]}

Ebben a lim m->végtelenhez {1+(m/p)]^p}=e^m bújik meg.

[10n+2] osztva [10n-2] hányadost először alakítani kell.

[10n-2+4] osztva [10n-2]. Ezt a törtet szétszeded: [10n-2] osztva [10n-2] (ez egy tört) + 4 osztva [10n-2] (ez egy másik tört). Ekkor [10n-2] osztva [10n-2] ez a tört egyenlő 1gyel.

Így azt kaptuk, hogy 1+ 4 osztva [10n-2]. Most ezt az egészet kell n-edik hatványra emelni. Alkalmazzuk a lim (n tart végtelenbe) [1+1/n]^n=e határértéket.

{1+ 4 osztva [10n-2]}^n =

{{1+ 4 osztva [10n-2]}^(10n-2)}^ n/(10n-2). Ekkor

{1+ 4 osztva [10n-2]}^(10n-2) tart az e^4 és n/(10n-2) tart 1/10hez. Így a keresett határérték

(e^4)^(1/10)=e^(4/10)=e^(2/5)