Hogyan lehet bebizonyítani azt, hogy létezik végtelen sok pozitív egész szám úgy, hogy közülük semelyik véges soknak az összege nem négyzetszám?

A következőkben m(i)-t fogok írni m alsó index i helyett.

Először is két nyilvánvaló állítás:

1. Ha a,b,c természetes számok és a^2=b^2*c, akkor c is négyzetszám.

2. Ha egy négyzetszám osztható egy prímszámmal, akkor annak négyzetével is.

Tekintsük a 2^(2*j+1) alakú szánokat, ahol j természetes szám, azaz j=1, 2, 3, ...

Állítás: ezek a számok megfelelnek a feladat feltételeinek.

Bizonyítás:

Tegyük fel, hogy a fenti számok közül sikerül úgy kiválasztanunk k darabot (k≥2, természetes szám), hogy összegük négyzetszám lesz.

Legyen közülük a legkisebb szám 2^(2*n+1). Ilyen létezik. Ekkor

2^(2*n+1) < 2^[2*m(i)+1] és

n < m(i) i=1,2,...,(k-1) esetén, ahol

2^[2*m(i)+1] jelöli a maradék, (k-1) darab számot.

Adjuk össze ezeket a számokat:

2^(2*n+1) + ∑ 2^[2*m(i)+1]

ahol az összegezés i=1-től (k-1)-ig megy.

Kiemelve 2^(2*n)-t azt kapjuk, hogy

{2^(2*n)}*{2 + ∑ 2^[2*l(i)+1]}

az összegezés i=1-től (k-1)-ig megy és ahol

l(i)=m(i)-n i=1,2,...(k-1) esetén.

A szorzat első tényezője négyzetszám, eszerint a második tényező is négyzetszám kell legyen. De a második tényező osztható 2-vel, viszont nem osztható 2^2=4-gyel, mert a második tényező első tagja kivételével minden más tagja osztható 4-gyel, hiszen a

∑ 2^[2*l(i)+1] [i=1-től (k-1)-ig] minden tagja osztható 4-gyel. Ez négyzetszám esetén nem lehetséges, ellentmondásra jutottunk, nem igaz kiinduló feltevésünk.