Helyettesítéses integrált mikor használunk?

Az általad mondott definíció részben szép és jó, de azt kell modjam, a gyakorlatban szinte soha nem segít, hiszen:

1. Gyakran nem látható közvetlenül, hogy az integrandus olyan alakú, amit mondasz.

2. Az sem látható sokszor, hogy olyan alakúra hozható.

3. Sőt ha olyan alakra is hozzuk, nem biztos hogy elemien

integrálható függvényt kapunk.

Ezért a helyettesítéses integrálás alkalmazásának módszere a következő:

Tipikus alkalmazásokat fel kell tudni ismerni, ezek dióhéjban a következők:

I. Polinomok helyettesítése:

1. Ha összetett polinom hatványon szerepel, akkor a polinomot helyettesítjül.

II. Gyökös kifejezések:

2. Ha az integrandusban gyökjel alatti kifejezés szerepel, akkor az egész gyököt helyettesítjük.

3. Ha gyök alatt racionális tört van, akkor szintén a gyököt helyettesítjük.

4. Ha gyök alatt a^2-x^2 van, azt átírjuk a*gyök(1-(x/a)^2)-re és x/a=sin(u) vagy= cos(u) helyettesítést használunk.

5. Ha gyök alatt a^2+x^2; vagy x^2-a^2 van, akkor valamilyen hiperbolikus fv.-t helyettesítük, tipikusan sh(u); ch(u).

6. Ha gyök alatt ax^2+bx+c alakú kifejezés van (vagy esetleg ennek a gyöknek a reciproka szerepel), akkor teljesnégyzetté alakítunk, majd kiemeléssel a 4. és 5. pontban leírt alakúra hozzuk.

III. Trigonometrikus helyettesítés, tipikusan, ha törtek formájában szerepel.

u=tg(x/2) a célravezető helyettesítés. (Néha periódus eltolással).

ekkor: x=2arctg(u) és dx=2dt/(1+u^2)

és sin(x)=2u/(1+u^2) és cos(x)=(1-u^2)/(1+u^2);

IV. Expoenciális helyettesítések:

pl. Ha e^x -ek szerepelnek, hatványozva is:

ekkor u=e^x -et helyettesítünk, ebből: x=ln|u| és dx=du/u.

Ajánlom a következő szakirodalmat:

Bárczy Barnabás: Integrálszámítás. Ebben találsz bőséges kidolgozott példát.