Matematika - Határérték: alapvető kérdések (mit? , miért? , hogyan? )
Kedves Fórumozók!
Néhány alapvető kérdést szeretnék tisztázni a segítségetekkel a határérték számítással kapcsolatban. Kérlek Titeket, hogy csak azt írjátok meg, amiben teljesen biztosak vagytok.
A probléma a következő lenne: nem értem, pontosan mire is használható ez az eljárás. Láttam egy verziót, amiben a következő feladatban használták: adott volt egy függvény, és az x0=4. Meg kellett határozni, hogy az adott függvényen milyen távolságra vannak az x0-tól azok a helyek(x), amiknek az értéke az y=7-től való eltérése maximum 2.
Több dologra is alkalmas?
Örülnék neki, ha valaki pontosan elmagyarázná a logikát is, mert a formulák és megfogalmazások túlon-túl bonyolítják. Szerintem legegyszerűbben egy számegyenesen vagy koordináta rendszeren bejelölgetve lehetne legegyszerűbben megérteni a lényeget, nem csak felsorolni az algebrai jeleket, de senkit sem szeretnék ilyen rajzolgatással terhelni.
Előre is köszönöm mindenki segítségét!
válasza:Emelt-szintű középiskolai feladatokhoz csináltam GeoGebra munkalapokat, amin dinamikusan látszik, hogy mit is jelent a határérték:
A sorozatok határértékét érdemes előbb megérteni. A Geogebra munkalapokon általában csúszka-mozgatással lehet az 'n' értéket beállítani, vagy következő feladatra menni.
Ha gondod van vele, szólj!
válasza:A határérték fogalmára épül szinte az egész matamatikai analízis, pl integrálszámítás, deriválás.
Sokat lehetne róla írni, egyetemen egy egész kurzus ezzel foglalkozik.
Néhány fogalom:Sorozatok határértéke, függvények határértéke véges illetve végtelen helyen, konvergencia.
Az egyik alapvető fogalom a folytonosság definíciója is a határérték segítségével értelmezhető.
Digitális képfeldolgozás matematikai hátterébe is előfordul határérték, valószínűségszámításban is és még sorolhatnám.
-------
Pl.: Megy egy jármű az úton. sebesség=út/idő. Ez az átlagsebesség. Mi a pillanatnyi sebessége? Közelítőleg jó megoldás ha egy rövid időtartamhoz tartozó átlagsebességet veszek, minél rövidebb időtartamot veszek annál jobban közelítem az átlagsebességet, akkor vegyünk 0 időtartamot, de 0 idő alatt 0 távolságot tesz meg. 0/0 nem értelmezhető? Itt jön a határérték. Jelölje x az eltelt időt, f(x) a megtett utat az eltelt idő függvényében. Ekkor [link] határérték lesz x0 időpontban az átlagsebesség. Ez nem más mint az f függvény x0 helyen vett deriváltja. Az f(x) függvény deriváltja f'(x) függvény vagyis megadja minden időpontban az átlagsebességet. Az átlagsebességnek is vehetem a deriváltját az lesz a gyorsulás. Dehát látható hogy fizikai számításokban is előkerül a határérték fogalmának az alkalmazása, ez csak egy egyszerű példa volt.
Terület, térfogatszámításnál (nem egyszerű alakzatoknál) előjön az integrálszámítás ami szintén a határérték fogalmára vezethető vissza.
válasza:Amennyire a hézagos leírást meg lehet érteni, annak nem sok köze van a határértékhez. A vélelmezett "lényeg"-hez annyit, pont azért találták ki a függvényvizsgálatot és függvénykezelést, hogy e problémákat röviden és világosan meg lehessen oldani.
Itt adott egy függvény és egy változó értéke. Keresendők mindazok a változóértékek, amelyeknél a függvényérték eltérése egy adottól nem nagyobb. Erre nem lehet általános megoldást adni, mert az a függvénytől függ.
Például, legyen y=f(x)=x. Keressük a [5,9] tartományba eső függvényértékekhez tartózó változókat. E függvény esetén ezek szintén [5,9]. Tehát a keresett változóértékek x=4-től [1,5]távolságra vannak.
Legyen most y=f(x)=x^2. Ekkor a szóba jöhető változóértékek: [gyök(5),gyök(9)] és [-gyök(5),-gyök(9)]. Tehát az x0-tól való távolság [4-gyök(5),4-gyök(9)] és [4+gyök(5),4+gyök(9)] közé esik.
Legyen y=f(x)=sin(x). Mivel ennek a függvénynek az értéke [-1,1] közé esik, tehát soha nem lehet például 5, így itt a válasz: nincs ilyen változó.
És így tovább. A határértékszámítást egészen más esetekben használjuk.
Közben felvetődött még egy kérdés:
x tart nullához, akkor az f(x^2) függvény értéke tart nullához, és x tart nullához esetén a sgn(x^2) függvény tart az egyhez. Ez hogy lehet, ha elvileg az x sosem éri el nullát, de az f(x^2) függvény mégis nullához tart. A szignum függvény nem folytonos x=0-ban, de ezek szerint az elsőfajú szakadását jobb és baloldali határértékkel szünteti meg. Egyrészt hogy lehet bal oldali határérték, ha az x^2 miatt, csak pozitív és nulla számok kerülhetnek az argumentumba, és hogyhogy 1?
válasza:Nemértem, mi a gondod ezzel.
Ugye a sgn(x) az -1, 0 vagy 1 attól függően, hogy x negatív, nulla vagy pozitív.
Így a sgn(x^2) fgv. értéke a 0 helyen kívül mindenhol 1.
Így akárhogyan közelíted a 0 helyet, a fgv határértéke evidens módon 1, merthogy mindig 1.
válasza:Ja most látom, van egy hibás feltételezésed:
"x tart nullához, akkor az f(x^2) függvény értéke tart nullához"
Ez mi akar lenni? Merthogy ez igen ritkán igaz...
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!