Lineáris függetlenség vizsgálata mátrixszal?
Egy vektorrendszer lineárisan független, ha a belőlük alkotott mátrix determinánsa nem 0, és függő, ha 0.
Ennek nem fordítva kéne lennie? Nem értem, ha egy mátrix determinánsa nulla, abból hogy következik, hogy egyes vektorok lineáris kombinációjával előállítható az adott tér egy másik vektora?
válasza:"Két vektor pedig akkor lineárisan függő, ha ez a vektorösszeg 0 lesz, valamilyen konstansok mellett."
Miért? Ezt nem értem.
Lineárisan független az a rendszer, amelyre igaz, hogy
c1 * a1 + c2 * a2 + ... + cn * an = 0 esetén minden c=0.
(c-k konstansok, a-k pedig vektorok)
Más szavakkal nem állítható elő a vektor tér egy elem se a más elemek lineáris kombinációjával. Ehhez képest, a fenti definícióban is az van, hogy ha 0, akkor függő, kezdek belekavarodni.
Köszönöm a válaszod!
válasza:Mert hülyeséget írtam, elnézést kérek érte :D Valóban akkor lineárisan függőek, ha a fenti c_n konstansok nem 0 értékei mellett teljesül, hogy az a_n vektorok számszorosainak összege 0.
Például ha a_1=[2 4 6] és a_2=[1 2 3], akkor ezek lineárisan összefüggőek, mivel c_1*a_1+c_2*a_2=0 teljesül, ha c_1=1 és c_2=-2. Ugyanakkor banális példaként ha a_1=[2 0 0] és a_2=[0 0 3], akkor c_1*a_1+c_2*a_2=0 csakis akkor teljesül, ha c_1=c_2=0.
válasza:Értem, amit leírtál, de mégse kapok teljes képet az egészről, azt hiszem a lineáris függetlenségnél van egy vakfoltom.
"Valóban akkor lineárisan függőek, ha a fenti c_n konstansok nem 0 értékei mellett teljesül, hogy az a_n vektorok számszorosainak összege 0."
Elmagyaráznád, hogy miért bizonyítja a függetlenséget a:
c1 * a1 + c2 * a2 + ... + cn * an=0, esetén minden c=0
definíció? Eddig azt hittem, hogy értem, de ezek szerint nem. Miért kell a konstansnak nullának lennie ahhoz, hogy lineáris kombinációval ne lehessen előállítani egy vektort? Ha veszem az x-y síkot a két egységvektorával i-vel és j-vel, és szeretném előállítani a k-t, akkor nem tudom úgy összeadni vagy megszorozni lineárisan, hogy k legyen belőle, ekkor ez a rendszer független, de a fenti definícióval nem értem. Én most elmegyek 1 órára kiszellőztetni a fejemet, mert kiégett az agyam, nagyon belassultam. Köszönöm szépen az eddigi segítségedet!
válasza:Pontosan az a lineáris függetlenség definíciójának a lényege, hogy az abban szereplő vektorösszegre KIZÁRÓLAG c_n=0 esetén teljesül, hogy 0.
Nézzük a fenti két példát, tehát legyen a_1=[2 4 6] és a_2=[1 2 3]. Kérdés, hogy mit tudunk mondani e két vektor lineáris összefüggéséről, vagy éppen függetlenségéről. Ehhez meg kell oldani a c_1*a_1+c_2*a_2=0 (vektor)egyenletet. Gondolom az tiszta, hogy hogyan kell vektorokkal számolni. Formálisan (vektoriálisan) felírva a
2 1 0
c_1 * 4 + c_2 * 2 = 0 megoldásait keressük.
6 3 0
Ezt egyenletekké visszaírva 2*c_1+c_2=0, 4*c_1+2*c_2=0, 6*c_1+3*c_2=0. Világos, hogy ezen egyenletek összefüggőek, azaz egyik a másiknak a számszorosa. Ezért ennek az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, ha c_2=t paraméternek (teR) rögzítjük, akkor c_1=-t/2 adódik. Ha például t=-2=c_2, akkor c_1=-(-2)/2=1.
válasza:Jó, kivágta a "felesleges" szóközöket a felírásból...
De nézzük a másik példát, amikor is a_1=[2 0 0] és a_2=[0 0 3]. Szintén meg kell oldani a fenti (vektor)egyenletet. Most a következő (skalár) egyenleteket kapjuk: 2*c_1+0*c_2=0, 0*c_1+0*c_2=0, 0*c_1+3*c_2=0.
A második egyenlet semmitmondó, ettől c_1 és c_2 bármilyen értéket felvehetne. De az első egyenlet miatt c_1=0, a harmadik miatt pedig c_2=0 kell legyen, más megoldás nincs. Tehát a definíció, amit te is leírtál, ezen két vektor mellett (melyek tehát lineárisan függetlenek) csak c_1=c_2=0 mellett igaz.
Ezeket értem, a feladatmegoldás is megy, csak a szimmetriát nem látom elmélet és gyakorlat között, ez pedig oda vezethető vissza, hogy:
"Pontosan az a lineáris függetlenség definíciójának a lényege, hogy az abban szereplő vektorösszegre KIZÁRÓLAG c_n=0 esetén teljesül, hogy 0."
Miért?-re még mindig nem látom a választ, ha kaptam se. Elnézést, ha értetlen vagyok, lehet már lefáradtam mára.
válasza:Tehát ott akadsz el, hogy mit jelent ez az egész? És hogy miért csak c_n=0 esetén beszélhetünk lineáris függetlenségről?
Gondolkodjunk vektorosan. Egy vektor számmal való szorzása nyújtást/zsugorítást jelent (már a vektor hosszára nézve), illetve - negatív számmal való szorzás esetén - irányváltozást is. Most adjuk össze ezeket vektorokat. Ha 0-át (nullvektort) kapunk, akkor ez azt jelenti, hogy az ezen vektorokból felrajzolt folytonos vektorfolyam zárt, tehát önmagába záródik (na meg persze azt is, hogy nem függetlenek). Érezhető szerintem, hogy "valamilyen módon" a vektorok összefüggenek egymással.
De vannak olyan vektorok, amelyeket akárhogy is szorzol (nem nulla) számmal, az összegük sosem lesz 0 (azaz nem lesz zárt a vektorsokszög). Remek példa erre a sima 3D (Descartes-féle) ortonormált bázis (i,j,k egységvektorok): [1 0 0],[0 1 0],[0 0 1] - ezek összege csakis akkor lesz nullvektor, ha minden konstans 0.
Utolsó mentsvárként idekeverném még a determináns geometriai jelentését. Tekintsünk a kérdésben feltett vektorokat, és képezzünk belőlük egy mátrixot. Ez esetben a determináns abszolút értéke (maradva most a 3x3-as esetnél) nem más, mint az ezen vektorok által kifeszített test (paralelepipedon) térfogata. Na mármost. Ha a determináns egy nem 0 szám, akkor ez "valóban" egy test lesz (nem 0 térfogattal), tehát három "normális" vektorról van szó - melyek ezért függetlenek, mivel egyik sem számszorosa a másiknak, bármelyik kettő lineáris kombinációval sem fejezhető ki a harmadik vektor.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!