Bizonyítsuk be hogy egy tetraéder szemben fekvő oldalainak középpontjait összekötő szakaszok egy ponton mennek át amely felezi őket?

Gyengébbek kedvéért így néz ki az egyik szakasz:

[link]

Ha ezt minden oldalra megrajzolod, szépen látszik, h egy ponton mennek át.

Ez a pont a tetraéder köré írható kör középpontja. A behúzott szakaszok adják meg az átló egy szakaszát.

[link]

Hát ez igaz, csak a tetraéder csúcsaival szemben lévő oldalakról szól, és az is igaz, hogy ezek a tetraéder köré írható GÖMB középpontjában metszik ugyan egymást, de véletlenül se felezik.

A hexaéder meg a zoktaéder esetében a kérdés értelmes, és az állítás igaz, a dodekeéderné má megin nem.

Ha a csúcsok helyvektorait A, B, C, D-vel jelöljük, akkor pl. az AB és CD élek esetén a két élfelező pont (A+B)/2 és (C+D)/2, az őket összekötő szakasz felezőpontja (A+B+C+D)/4. Ugyanezt kapod az AC-BD és AD-BC élpárokra.

Tehát egy ponton mennek át, és az felezi őket.

Ez egyébként semmilyen nevezetes gömbnek nem középpontja.