Valaki meg tudja mondani h f (x) = ln x négyzet és g (x) = 2* ln x Miért nem azonos? Elvileg a logaritmus azonosságai alapján annak kéne lennie.

Mert a logaritmus azonosság, amire te is gondolsz ("a" alapú logaritmus x a k-adikon = k*"a" alapú logaritmus x) csakis a következő feltételek mellett teljesül, tehát nem minden esetben.

a, x Î R+, a ą 1, k Î R. Azaz a, x, pozitív valós számok, a nem lehet 1, k pedig tetszőleges valós szám lehet.

Ezek mellett a kikötések mellett az ln(x^2) függvény értékkészlete is lekorlátozódik a [0;végtelen[ intervallumra, és így már meg is egyeznek az általad felírt függvények grafikonjai.

Dante

Máshogy megfogalmazva, – ha valós számokról van szó – egy negatív szám négyzete pozitív, így -10 négyzete 100. Ennek ki lehet számolni a természetes alapú logaritmusát.

Viszont ln(-10) nem értelmezhető. A logaritmus definíciójából fakadóan:

e^(ln(-10)) = -10

Az e pozitív. Ha négyzetre, köbre emeled, akkor is pozitív. Ha negatív hatványra emeled, akkor ugye e^(-n) = 1/(e^n), ami szintén csak nem negatív lehet. Ha tört hatványra emeled, akkor e^(n/m) = n'gyök(e^m), ami szintén csak nemnegatív. Tehát e semmilyen hatványa nem lehet negatív. Egy negatív számnak nincs logaritmusa.

Tehát a különbség az, hogy negatív számok esetén az ln(x^2) értelmezhető, míg a 2*ln(x) nem. A logaritmus felhasznált azonossága csak azzal a kikötéssel azonosság, ha x>=0

Az értelmezési tartományuk nem ugyan az.

dom(f) = R = (valós számok halmaza)

dom(g) = I = (irracionális számok halmaza)

Ha átalakítod,

ln(x^2) = 2 * ln(|x|) != 2* ln(x)

Itt látszik a különbség.

Így igaz. Definíció szerint az f(x) és a g(x) függvények akkor egyenlőek, ha D(f)=D(g), illetve tetszőleges xeD(f) és xeD(g)esetén f(x)=g(x).

Jelen esetben már az értelmezési tartományok azonossága sem teljesül, mivel - ahogy azt már helyesen írták - D(f)=R\{0} és D(g)=R+. Tehát a két függvény nem egyenlő annak ellenére sem, hogy a logaritmus azonosságait használtuk fel.

ln (x^2) = 2 * ln x de

(ln x)^2 = (ln x) * (ln x)