Hogyan lehetne ezt kiszámolni: milyen magasra emelkedik a függőlegesen fellőtt lövedék, ha 240 m/s-mal indul és a légellenállás kezdetben 5,76 g lassulást okoz?

A tömege nincs megadva?

Hogy a légellenállás kezdetben a_0 gyorsulást okoz, az azt jelenti, hogy m*a_0 = k*v_0^2, ebből a közegellenállási tényező kiszámolható: k = m*a_0/v_0^2.

Válasszuk a lefele irányt pozitívnak. A cuccra egy irányba hat a gravitációs és közegellenállási erő, így a mozgásegyenlet, amíg a test el nem éri pályájának legmagasabb pontját:

m*a = m*g + k*v^2.

Ez v-re nézve egy elsőrendű differenciálegyenlet (ugyanis a = dv/dt):

m*dv = (m*g + k*v^2)*dt,

int(m*dv/(m*g + k*v^2)) = int(dt),

t + C = gyök(m/(g*k))*arctan(gyök(k*g/m)*v),

ahol C az integrációs konstans.

v(t) meghatározásához invertálni kell a bal oldalt:

tan(gyök(g*(k/m))*t + C) = gyök(k*g/m)*v,

v(t) = gyök(m/(k*g))*tan(gyök(g*k/m)*t + C).

C-t abból tudjuk meg, hogy v(0) = v_0.

C = arctan(v_0*gyök(k*g/m)).

Ugye a mozgásegyenletünk csak addig a T pillanatig érvényes, még a sebesség 0-ra nem csökken (ezután a közegellenállás a gravitációval ellentétes irányba hat):

v(T) = gyök(m/(k*g))*tan(gyök(g*k/m)*T + C) = 0.

T = -gyök(m/(g*k))*arctan(v_0*gyök(k*g/m)).

Még kéne, hogy hol lesz a test ekkor:

x(T) = int(v(t), t = 0..T) = …

Ezt meg már rád bízom.

(U. i.: ne felejts el válaszolni a kérdésre, amit az elején feltettem.)

A közegellenállás okozta lassulás már pedig tömegfüggő, mert a közegellenállási erő alapból tömegfüggetlen, a mozgásegyenlet másik oldalán meg ott a tömeg a gyorsulás mellet. Amit itt elfelejtettem, hogy most a közegellenállási tényező is a tömeggel adott, így ha behelyettesíted, akkor a tömeg kiesik:

k = m*a_0/v_0^2

v(t) = gyök(m/(k*g))*tan(gyök(g*k/m)*t + arctan(v_0*gyök(k*g/m))) = gyök(v_0^2/(a_0*g))*tan(gyök(g*a_0/v_0^2)*t + arctan(v_0*gyök(a_0*g/v_0^2))),

T = -gyök(v_0^2/(g*a_0))*arctan(v_0*gyök(a_0*g/v_0^2)).

h = x(0) - x(T) = int(v(t), t = T..0) = …

Akkor most már rád bízhatom? (Remélem, nem számoltam el, de ha mégis, akkor remélem, észre veszed…) Még annyit, hogy a lefele irányt választottuk pozitívnak az elején, tehát v_0 = -240 m/s. Még a tangenst kell integrálni, és lényegében kész…

Amúgy hol jött elő a probléma?

Közben vettem a fáradságot, és a pontos megoldást is kiszámoltam: 955,511 m. (Legalábbis ezekkel az adatokkal.)

Például egy 9 mm-es lövedékre ( [link] ) ezzel a képlettel: [link]

360 m/s („tipikus”) kezdősebességgel és 0,3-as CD-vel (ez gőzöm nincs, mennyire pontos, csak tipp) számolva 989 m jön ki (viszont nem 5,76 g-s, hanem 20,49 g-s kezdeti lassulás származik a közegellenállásból).