Bizonyítsd be, hogy minden n-re (n természetes szám) M=1/2+1/3+1/4+. +1/n nem természetes szám?

Nézzük a legnagyobb 2 hatványt, ami még nem nagyobb n-nél:

t = 2^s ≤ n, 2t > n

M = 1/2 + ... + 1/t + ... + 1/n

Könnyen belátható, hogy a t-től különböző nevezők egyike sem osztható t-vel.

Adjuk külön össze az 1/t-től különböző többi reciprokot:

M = 1/t + a/b

A 'b' közös nevezőben (ami persze a nevezők LKKT-je) 2^s-nél kisebb 2 hatványok vannak csak benne, ezért b nem osztható 2^s=t-vel.

Szorozzunk be b-vel:

b·M = b/t + a

Mivel b nem osztható t-vel, ezért b/t nem lehet természetes szám; 'a' (és 'b') viszont azok, ezért b·M nem lehet természetes szám, így M sem az.

(Sajnos nem én találtam ki a bizonyítást...)