A 2003 prímszam. Melyek azok az x, y egész számok, amelyek kielégítik a (1/x) + (1/y) =1/2003 egyenletet?

Van több is.

1/x + 1/y = 1/2003       kikötés: x≠0, y≠0

2003x + 2003y = xy

2003x = y(x - 2003)

y = 2003x / (x - 2003)

A nevező 2003·x osztói lehetnek:

a) x-2003 = 1:

x = 2004

y = 2003·2004

b) x-2003 = -1:

x = 2002

y = 2003·2002

c) x-2003 = 2003

x = 4006

y = 4006

d) x-2003 = -2003

x = 0 → nem felel meg a kikötésnek

A 2003-nak nincs több osztója, de a 2003x-nek még lehet. Vagyis 2003x osztható (x-2003)-ral:

2003x = k·(x - 2003)

kx - 2003x = 2003k

2003k = x(k-2003)

x = 2003k/(k-2003)

Ez pont ugyanaz az egyenlet más ismeretlenekkel, mint az elején. Szóval k-ra ugyanazok az értékek jönnek ki, mint eddig az x-re, amiből x ugyanaz lesz, mint eddig az y. Ami logikus is, hisz x és y teljesen szimmetrikus szerepű az eredeti egyenletben.

Vagyis megoldások még ezek is:

x = 2003·2004, y = 2004

x = 2003·2002, y = 2002

Vagyis összesen 5 megoldás van.

Igazad van, de még én is pontosítanék. :D

x = - 2003·2002, y = 2002 ; ill. fordítva, hiszen 1/2002 több, mint 1/2003.

Persze, igazad van, jól elrontottam a -1-gyel osztást, nekem pozitív lett :(

Szóval a b) helyesen:

b) x-2003 = -1:

x = 2002

y = -2003·2002

És persze az utolsó, felcserélt is negatív ezek után...

brr...