1) Mennyi a szorzata egy egységsugarú körbe írt szabályos hatszög egyik csúcsából induló oldalai és átlói hosszainak? 2) Egy 12 sugarú kör két, egymással párhuzamos húrja 20 és 16 hosszúságú. Mekkora a távolságuk?

1)

Szabályos hatszöget így kell/lehet szerkeszteni:

- rajzolsz egy kört körzővel

- a körvonalon megjelölöd a hatszög egyik csúcsát

- ide leszúrod a körződ, és elmetszed az eredeti körvonalat

- a metszéspont(ok)ba ismét leszúrod a körzőt és elmetszed újból

- végül megkapod a hatszöget 6 csúcsát

- a hatszög minden oldala az eredeti kör sugarával egyenlő

A fentiek alapján meg is van a feladatban szereplő hatszög oldalainak hossza (1).

Milyen átlók indulnak egy csúcsból?

a) Van egy, ami az egységsugarú kör átlója. Tehát 2 hosszú.

b) Van kettő, ami egyenlő, de nem tudjuk mekkora.

Ha berajzoljuk a hatszög leghosszabb átlóit (a kör átmérőit), akkor kapunk 6 darab szabályos háromszöget, amelynek oldalai 1 hosszúak.

Ha berajzoljuk az egyik kérdéses átlót (aminek nem ismerjük a hosszát), akkor azt látjuk, hogy két szabályos háromszög magasságának összegével egyezik meg.

Egy ilyen szabályos háromszög magasságát így lehet meghatározni:

Felírunk egy Pitagorasz-tételt: (1/2)^2 + m^2 = 1^1

m^2 = 3/4

Azaz m = gyök(3)/2.

A keresett átlók ennek a kétszeresei, tehát gyök(3).

Térjünk vissza oda, hogy mekkora oldalak és átlók indulnak egy csúcsból:

- 2 oldal (1 hosszú)

- 1 átmérő hosszú átló (2 hosszú)

- 2 "közepes" hosszú átló (gyök(3) hosszú)

Ezek szorzata: x = 1 * 1 * 2 * gyök(3) * gyök(3) = 6

--------------

2)

Kétszer kell alkalmazni a Pitagorasz tételt.

Először fel kell rajzolni az ábrát:

- egy kör

- két párhuzamos húr: az egyik kicsit távolabb van a a kör középpontjától

- a húrok végpontjait kösd össze a kör középpontjával

- a két húrt kösd össze egy rájuk merőleges szakasszal, amelyik átmegy a kör középpontján

a) első derékszögű háromszög:

Az egyik befogója a rövidebbik húr fele (8).

A másik befogója a húr távolsága a kör középpontjától (x).

Az átfogója a kör sugara (12).

Pitagorasz-tétel: 8^2 + x^2 = 12^2

x^2 = 80

x = gyök(80) = 4 * gyök(5)

b) második derékszögű háromszög

Az egyik befogója a hosszabbik húr fele (10).

A másik befogója a húr távolsága a kör középpontjától (y).

Az átfogó itt is a kör sugara (12).

Pitagorasz-tétel: 10^2 + y^2 = 12^2

y^2 = 44

y = gyök(44) = 2 * gyök(11)

A két húr távolsága pedig: d = x + y = gyök(80) + gyök(44) ~ 15,5775

Egy korábbi feladat más adatokkal, de a lényeg ugyanaz.

[link]