Egy derékszögű háromszög kerülete 20 cm. Az ilyen derékszögű háromszögek közül melyiknek a legnagyobb a területe? (illetve itt kérnék indoklást is)

Ilyen későn ennyi az indoklás:

[link]

Elég?

a^2+b^2=400

max a*b/2

A négyzetes és mértani közép közti egyenlőtlenség alapján ez a=b esetén maximális. Ekkor a*b/2=100.

Még elemibb: 0<=(a-b)^2=a^2+b^2-2*a*b azaz 4*(a*b/2)<=400 tehát (a*b/2)<=100 (és az a=b=10*sqrt(2) esetén felvétetik)

#2!

KERÜLETE 20 ! (Nem az átfogója)

Szabad kicsit másképp? :-)

A háromszög területe a beírt kör sugarával és a fél kerülettel

T = r*s

s = (a + b + c)/2

ill.

2s = a + b + c

A derékszögű háromszögben

r = (a + b - c)/2

De

a + b = 2s - c

így a sugár

r = (2s - c - c)/2

r = s - c

vagyis a terület

T = s(s - c)

Ez akkor lesz a legnagyobb, ha a zárójeles mennyiség a legnagyobb, ami akkor teljesül, ha a 'c' értéke a legkisebb, mert a fél kerület állandó.

Lássuk a 'c' értékét

c = √(a² + b²)

A gyök alatti mennyiséget kicsit átalakítva

D = a² + b² = (a + b)² - 2ab

D = a² + b² = (a + b)[(a + b) - 2ab/(a + b)]

Ez akkor a legkisebb, ha a szögletes zárójeles mennyiség a legkisebb, ami akkor áll elő, ha a második tag, a két befogó harmonikus közepe a legnagyobb.

A harmonikus közép pedig akkor a legnagyobb, ha a két tag egyenlő egymással, vagyis

a = b = x

vagyis ha egyenlő szárú derékszögű háromszögről van szó.

Ezzel

D = 2x²

és

c = x√2

Ezután a kerület

K = x + x + x√2

K = x(2 + √2)

ebből az

x = K/(2 + √2)

Gyöktelenítés után

x = K(2 - √2)/2

Behelyettesítve a kerület értékét

x = 10(2 - √2)

==========

DeeDee

**********

Az a szép a matekban, hogy általában több úton is eljuthatsz a megoldáshoz.

Nekem van egy kis problémám a megoldásoddal. Azt írod:

"Ebből logikusan következik, hogy ez akkor maximális, ha a=b "

Levezetnéd ezt a logikus következtetést? Mert számomra ez nem magától értetődő megállapítás.