0 - tól 9999 - ig hány olyan természetes szám van, amelyben több 1-es szerepel, mint 2-es?

Először is töltsünk fel minden számot kezdő 0-kal.

0000 - 9999 -ig összesen 10000 szám van.

A számban ha 2db 2-es van, akkor nem lehet benne több egyes.

Így csak 2 eset van.

0db kettes szerepel és legalább 1 egyes.

VAGY

1db kettes szerepel és 2 vagy 3 db egyes.

Számok, amiben nincs 2-es:

9*9*9*9 = 6561

Számok, amiben nincs se 1-es, se 2-es:

8*8*8*8 = 4096

Tehát számok, amikben nincs 2-es, de van 1-es:

6561-4096 = 2465

-------

Számok, amiben van 1db 2-es és 2db 1-es:

Az utolsó számjegy lehet 8 féle, minden más fix. Vagyis 8 féle számjegykészlet lehetséges. De a 2-est 4 helyre tehetjük, a harmadik számjegyet pedig 3 helyre.

4*3*8 = 96 lehetőség.

1db 2-es és 3db 1-es:

A 2-est 4 helyre lehet tenni, 4 lehetőség.

Összesen:

2465+96+4=2565

Most csináljuk úgy, hogy minden számot négy jeggyel írunk ki, ha nem négy jegyű, akkor elé írunk megfelelően sok 0-t, ez se az értékén, se a benne szereplő 1-esek és 2-esek számán nem változtat.

Olyan szám, amiben pontosan 1 darab 1-es és 0 darab 2-es szerepel 4*8*8*8 darab van, mert az 1-es 4 helyre kerülhet, a többi 3 helyre pedig 8-féle számjegyet írhatunk egymástól függetlenül.

Olyan szám, amiben pontosan 2 darab 1-es és 0 darab 2-es van 6*8*8 darab van, mert a két 1-es 6-féle helyre kerülhet.

Olyan szám, amiben pontosan 2 darab 1-es és 1 darab 2-es van 6*2*8 darab van, mert a két 1-est 6-féleképpen helyezhetjük el a 2-es mindegyik esetben 2 helyre kerülhet, és az utolsó jegy 8-féle lehet.

Olyan szám, amiben pontosan 3 darab 1-es és 0 darab 2-es van…

Amiben pontosan 3 darab 1-es és 1 darab 2-es van…

Amiben pontosan 4 darab 1-es van…

Pontosan ezek a számok olyanok, amikben több az 1-es mint a 2-es 0 és 9999 között, tehát a megoldás a fenti számok darabszámának az összege

4*8*8*8 + 6*8*8 + …

Könnyebb kiszámolni, hogy hány esetben van ugyanannyi 1-es és 2-es,

ezt kivonjuk 10000-ből megkapjuk a nem ugyanannyi esetek számát, és

ennek pont a felénél lesz több 1-es, mint 2-es.

1 2

---------

0 0 8 * 8 * 8 * 8 = 4096

1 1 4C2 * 2C1 * 8 * 8 = 6*2*8*8 = 768

2 2 4C2 = 6

Összesen 4096 + 768 + 6 = 4870 esetben ugyanannyi,

10000 - 4870 = 5130 esetben nem ugyannyi,

5130/2 = 2565 esetben az 1-esekből van több.