Igazolja, hogy végtelen sok olyan n természetes szám van, amelyre (2^n) + 1 osztható n-el. Valaki?

Magyarul azt kell belátni, hogy

3^k | 2^(3^k)+1 minden k-ra.

Lássuk be teljes indukcióval.

k=1

3|2^3+1

3|9

Ez igaz.

Tegyük fel, hogy

3^k | 2^(3^k)+1

Vagyis létezik olyan 'a' egész szám, hogy

a*3^k = 2^(3^k)+1

Bizonyítsuk be, hogy

3^(k+1) | 2^[3^(k+1)]+1

3^(k+1) | 2^[3*3^k]+1

hatvány azonosságok alapján

2^[3*3^k] = [2^(3^k)]^3

3^(k+1) | [2^(3^k)]^3+1

Felhasználjuk az indukciós feltevést, vagyis azt, hogy

2^(3^k) = a*3^k-1

3^(k+1) | [a*3^k-1]^3+1

Ha most elvégzed a hatványozást, akkor a (-1) és a (+1) kiejti egymást a megmaradt három tag mindegyike pedig osztható 3^(k+1)-el.

Ezt már rád hagyom.

Ezzel kész a bizonyítás.