Hogyan kell 2 körhöz közös belső érintő egyenletét felírni?

Egyik megoldás az ilyen feladatokban a szerkesztés lépéseinek követése számolással. A szerkesztés menete:

[link]

Ha gondolod, és megadod a két kör egyenletét, GeoGebrával végig csinálom. (Tehát nem minden lépést számolgatok végig, csak minden lépés eredményét kiíratom és ábrázolom számítógéppel.)

Első körben talán érdemes megnézni, hogy a két körnek hány metszéspontja van; ha 2 metszéspontja van, akkor nem beszélhetünk "belső érintőről", ha 1, akkor az biztosan azon az 1 ponton fog átmenni, így a már tanult módon kiszámolhatjuk a ponthoz húzható érintő egyenes egyenletét. Ha nincs metszéspont, akkor már kell számolnunk is.

Rajzoljunk egy vázlatot; két kör, behúzzuk "szemmértékkel" az érintőt és a merőleges sugarakat (r és R a sugarak). Most kössük össze a körök középpontjait, ekkor két háromszöget kapunk, amik ráadásul egybevágóak, mivel az érintő és a szakasz közös pontjából egybeforgatjuk a két háromszöget, akkor egy szögszárat kapunk, amire a párhuzamos szelők tételét lehetne alkalmazni.

Mivel az egyik háromszög egyik oldala a kör sugara, vagyis r, a másiké R, ezért a két háromszög hasonlósági tényezője lambda=r/R (R/r is lehet, a számolás szempontjából lényegtelen, ha ezzel tovább helyesen számolunk).

Most az a kérdés, hogy az érintő és a szakasz hol metszik egymást. Legyen a középpontok távolsága c (ez kiszámolható, tehát kezelhetjük számként), az r oldalú háromszög megfelelő oldala x (ami az r sugarú kör közéépontja, valamint az előbb kreált metszéspont távolsága), ekkor az R oldalúé c-x. Ha R>r, akkor

x/(c-x)=r/R, ebben az egyenletben csak x az ismeretlen, tehát x-re kell rendeznünk az egyenletet; szorzunk (c-x)-szel

x=r*(c-x)/R /szorzunk R-rel

x*R=r*(c-x) /osztunk r-rel

x*R/r=c-x /+x

x*(1+(R/r))=c /osztunk 1+(R/r)-rel

x=c/(1+(R/r))

Tehát a körök középpontja által meghatározott szakasz rövidebbik része c/(1+(R/r)) hosszúságú.

Ha ez megvan, kiszámolhatjuk a szakasz és az érintő metszéspontját. Ez azért fontos, mivel az így kapott ponton biztosan át fog haladni a kör érintője. Ha ez a pont megvan, akkor egy egyszerű kétismeretlenes parametrikus egyenletrendszert kell felírnunk erre a pontra és az egyik körre, így megkapjuk a keresett érintőket (ugyanis 2 lesz belőlük).

Ha adsz konkrét példát, szívesen megoldom, ha kérdésed lenne, tedd fel bátran!

1. válaszoló vagyok.

Ahogy gondolod! Én szoktam ellenőrizni magamat egy szerkesztéssel. Ha nem kell, nem kell.

#2 vagyok: ha így lenne, nem ajánlottam volna fel :)

Legyen akkor az én módszeremmel; előbb szögezzük le, hogy a második hatványt így jelöljük: ^2, például az "iksznégyzet" így néz ki: x^2.

És most a feladat:

x^2 + y^2 = 9

(x-17)^2 + (y-7)^2 = 100

Az első kör középpontja a (0;0) pont, sugara 3 egység, a másodiké (17;7), sugara 10 egység. Ha a középpontok távolsága több, mint a sugarak összege, akkor nincs közös pontjuk, ha egyenlő, akkor 1 közös pontjuk, ha kevesebb, akkor 2 közös pontjuk van.

A két középpont távolsága a távolságképletből: gyök((17-0)^2+(7-0)^2))=gyök(289+49)=gyök(338)=~18,38, ez több, mint 13, vagyis nincs közös pontjuk, tehát van "belső" közös érintőjük.

Használjuk az előbb levezett képletet; a kisebbik kör középpontjától a szakasz és az érintő metszéspontja c/(1+(R/r)) egységre van. Itt c=gyök(338), R=10 és r=3, így gyök(338)/(1+(10/3))=3*gyök(338)/13 távolságra van.

Vegyük a középpontok által meghatározott vektort; (17;7), ez a vektor párhuzamos a szakasszal. Szükségünk van egy olyan ezzel párhuzamos vektorra, aminek hossza a középpont és a metszéspont távolsága. Szorozzuk meg a fenti vektort k-val (k pozitív valós): k*(17;7)=(k*17;k*7), ennek a hossza a tanultak alapján gyök((17k)^2+(7k)^2)=gyök(289k^2+49k^2)=gyök(338k^2), ennek kell egyenlőnek lennie a fenti távolsággal:

gyök(338k^2)=3*gyök(338)/13 /négyzetre emelünk

338k^2=9*338/169 /:338

k^2=9/169 /gyökvonás, de mivel kikötöttük az előbb, hogy k pozitív valós, ezért csak a pozitív megoldással kell foglalkoznunk

k=3/13, tehát a vektorunk:

((3/13)*17;(3/13)*7)=((51/13);(21/13)), ezzel a vektorral kell ellépnünk a (0;0) pontból, ezzel az ((51/13);(21/13)) pontba jutunk.

Innentől sikerül redukálnunk ezt a feladatot egy már tanult feladatra:

"Adjuk meg az x^2+y^2=9 egyenlettel megadott kör érintőjét, amelyik áthalad az ((51/13);(21/13)) ponton!"

Ez azért egyszerűsödik így le, mert külső pontból csak 2 érintő húzható, és ezek az érintők a másik kör érintői is lesznek (remélem ennyiből érthető, mélyebben nem szeretnék belemenni).

Ezt pedig a Thalesz-tételes megoldással oldjuk meg; vesszük a kör középpontja és a metszéspont által meghatározott szakasz felezőpontját: ((0+(51/13))/2;(0+(21/13))/2=((51/26);(21/26)), és erre emelünk egy kört azzal a sugárral, ami a felezőpont és a kör középpontjának távolsága, ez pedig 3*gyök(338)/26:

(x-(51/26))^2+(y-(21/26))^2=(3*gyök(338)/26)^2=4,5, vagyis

(x-(51/26))^2+(y-(21/26))^2=4,5 } , ezt egyenletrendszerbe foglaljuk az eredetivel:

x^2+y^2=9 }

Ha gondolod, végigszámolhatod ezt az egyenletrendszer, én most csak a végeredményt fogom megadni:

(x1=15/13 ; y1=36/13) és (x2=36/13 ; y2=-15/13)

Számoljunk először az (x1;y1) számpárral. Ezen a ponton is áthalad a keresett egyenes, ezért azt az egyenest keressük, ami ezen és az ((51/13);(21/13)) ponton áthalad. Írjuk fel a két pont közti vektort: ((36/13;(-15/13)), ennek a normálvektora ((15/13);(36/13)), így az egyenlet (az újonnan kapott pont koordinátáit helyettesítem most be):

(15/13)x+(36/13)y=(15/13)*(15/13)+(36/13)*(36/13)=9, vagyis

(15/13)x+(36/13)y=9, ezt még szépíthetjük úgy, hogy szorzunk 13-mal és osztunk 3-mal:

5x+9y=39, ez lesz az egyik érintő egyenlete.

Most jöhet az (x2;y2) számpár. Az irányvektor ((15/13);(36/13)), ennek a normálvektora ((36/13);(-15/13)), ezzel az egyenlet:

(36/13)x-(15/13)y=(36/13)*(36/13)-(15/13)*(-15/13)=9, vagyis

12x-5y=39

(Megjegyzés: ugyanezt a pokoljárást a másik körrel is végigcsinálhattuk volna, viszont az x^2+y^2=9 egyenletű kör egyenlete nagyságrendekkel könnyebben kezelhető).

Mivel túlzottan hosszúra sikeredett az írásom, ezért csak remélni tudom, hogy egyszer a végére érsz :) Illetve biztos vagyok benne, hogy ennél rövidebb megoldás is van, arra viszont én is kíváncsi vagyok :)

#6 válaszolónak.

Minden elismerésem, hogy az éjszaka meg is oldottad a feladatot. A gyors, GeoGebrás ellenőrzés szerint valahol egy elírásod van. (Ne haragudj, még nem tudtam kiböngészni, hogy hol)

[link]

Te biztosan sokkal gyorsabban megtalálod a hiba forrását.

Igen... 36/3=9 volt nálam 12 helyett. Én is ellenőriztem GeoGebrán a megoldást, ott át is írtam 12-re, de úgy látszik itt lemaradt.

Köszönöm az észrevételt és az elismerést :)

Én is megcsináltam most már a szerkesztés-követő módszerrel, vázlatosan:

[link]