Mi a megoldása az egyenletnek?

Kedves kérdező, ugye a probléma az, hogy adott egy transzcendens egyenletrendszer, melyek megoldásai között több nagyságrend eltérés lehet. Ebből adódóan ha ezt beírod egy megoldóprogramba, lehet hogy nem is tudja kezelni, mert kívül esik a képességeken (számábrázolási probléma!).

Ahhoz, hogy az egész tartományt vizsgálni tudjuk, logaritmikus tartományba kell áttérnünk.

Ugyanis logaritmikus tartományban a hatványozás műveletét szorzásra vezetjük vissza, vagyis minden változásnak az intenzitása csillapodni fog.

Tekintsük most az alábbi, egyszerűsített esetet:

x^x=10^10^10=y^y^y^y

Áttérünk 10-es alapú lg tartományba:

x*lgx=10^10=(y^y^y)*lgy

A hatványozás többszöri előfordulása miatt most át kell térnünk második logaritmikus tartományba:

lgx+lglgx=10=(y^y)*lgy+lglgy.

Látható, hogy ez már sokkal barátságosabb, és beláthatóan ekvivalens alakja az eredeti egyenletrendszernek.

Bevezetjük a b:=lgx jelölést, mellyel az

b+lgb=10

transzcendens egyenletre jutunk.

Megoldva numerikusan, a közelítő megoldás:

b=9.044, amiből x=10^9.044 adódik.

Hasonlóan, valamilyen numerikus módszerrel a másik egyenlet közelítő megoldása:

y=2.908.

Tehát a tanulság, hogy logaritmikus tartományban sokkal egyszerűbb megoldani az egyenletet.

Megjegyzem, az eredeti egyenlőség annyira "instabil" hogy pl. egy "hagyományos" iteráció alkalmazásakor az x (vagy y) érték nagyon kis mértékű megváltoztatása esetén is a kimenetben óriási, 30-40% változás fog megjelenni.

Ezt a problémát a logaritmikus skálára való áttéréssel szintén kiküszöböltük.

Remélem, így más sikerült ötletet adnom, az eredeti feladat teljesen hasonló módon oldható meg.