Hány nullára végződik az alábbi szorzat?

tippem: 10^(450+2^100)

Csak a tízeseket (10^10,20^20,stb.) kell figyelembe venni, és azokból is a tizes helyen kívül monden elhagyható. Ezeket a hatványokat tehát szépen összeadjuk: 10+20+stb. Egyedül a 100^100-nal kell vigyázni, mert ott két 0-ás hely van, tehát az valójában 10^2^100.

Majd valaki kijavít :D

(((Egy kis szőrszálhasogatással kezdünk. Nem logikai hiba, csak nem árt ezekre odafigyelni.

A válaszod nem a 0-k számát akarja adni, hanem egy olyan 10-hatvány értékét, ami ugyanannyi 0-ra végződik, mint a szám, tehát a logikád alapján inkább a „450 + 2^100 darab 0-ra végződik” a válasz a kérdésre.

Másrészt a hatványozásnál az a szokás, hogy „fentről lefelé” kell kiértékelni, mert ami a kitevőbe kerül az automatikusan olyan, mintha zárójelbe is kerülne. Mint például az (x + y)/(x – y) szép tört alakjában (Tom Benko kedvéért: \frac{x + y}{x - y}) sincsenek zárójelek. Tehát a 10^2^100 = 10^(2^100), te pedig inkább a (10^2)^100-ra gondolsz.

Ráadásul nem 2^100-ont, hanem 2*100-at akarsz írni a kitevőbe. Legalábbis az lenne logikus… Nagyon fáradt lehettél, Vree, ennél a hozzászólásnál, ha nem haragszol… Mondjuk én se vagyok most teljesen magamnál…)))

A lényeg: nem csak a 10-es tényezőkből jön 0 a szorzat végére, mert például 2*5 is 10, ami rak egy 0-t a szorzathoz.

Szóval a megoldás a szorzatban szereplő 2-es és 5-ös prímtényezők számának a minimuma lesz. (Szóval ha a szorzat prímtényezős felbontása úgy kezdődik, hogy 2^x*3^y*5^z*7^u*…, akkor a megoldás min{x, z}.)

Valami azt sejteti velem (ebben a válaszban sajnos nem fogom pontosan bizonyítani, így nem is vagyok teljesen biztos benne), hogy 5-ösből kevesebb van, ezért azokat számoljuk össze:

Egyrészt van az 5-tel osztható tényezőken

5 + 10 + 15 + … + 100 = 5*(1 + 2 + … + 20) = 5*21*20/2 = 1050 darab 5-ös.

Másrészt a 25 = 5*5-tel osztható alapú tényezőkben most csak az egyik felét számoltuk az 5-ösöknek, tehát van még ezeken kívül

25 + 50 + 75 + 100 = 250 darab 5-ös tényező.

Összesen tehát 1300 darab, így a kérdésre is az a válasz, hogy 1300 darab 0-ra végződik a szorzat.

És úgy néz ki, tévedtem, mert kedvem szottyant összeszámolni a 2-es kitevőjét is:

2 + 4 + 8 + … + 100 = 2*51*50/2 = 2550,

4 + 8 + 12 + … + 100 = 4*26*25/2 = 1300,

8 + 16 + 32 + … + 96 = 8*17*16/2 = 1088,

16 + 32 + 48 + … + 96 = 16*9*8/2 = 576,

32 + 64 + 96 = 192,

64 = 64,

Összesen 5770 darab 2-es prímtényező szerepel a szorzatban, ami több, mint 1300, így csak 1300 darab 0-ra végződik a szorzat.