Létezik abba alakú négyzetszám?

Nem.

32-99-ig négyjegyű a számok négyzete, excel táblába beírható, egyik sem ilyen.

A számok négyzete csak 1-re, 4-re, 5-re, 6-ra, 9-re végződhet, így a többivel kezdődőt kapásból kizárhatjuk.

abba = 1001*a+110*b

1001=7*11*13

110=2*5*11

1001*a+110*b = 11*(91a+10b)

Ez csak akkor lehet négyetszám, ha

11|91a+10b

91a+10b = 88a+11b + (3a-b)

vagyis

11|3a-b

Négyzetszám nem végződhet 2,3,7,8-ra, ezért

a=1,4,5,6,9 eseteket kell csak nézni.

Megnézed ezt az 5 esetet, pl, ha a=1, akkor b=3.

Így kapsz 5 számot. Ezek egyike se négyzetszám.

> „A számok négyzete csak 1-re, 4-re, 5-re, 6-ra, 9-re végződhet, így a többivel kezdődőt kapásból kizárhatjuk.”

Akkor már csak a 32..44, 64..83 és 95..99 számok négyzetét vizsgálni. Ez 13 + 20 + 5 = 38 darab.

Amúgy abba = 1001*a + 11*b = 11*(91*a + b), így hogy négyzetszám legyen 91*a + b-nek oszthatónak kell lennie 11-gyel, és mivel minden a számjegyhez legfeljebb csak 1 b számjegy létezhet, ami 11-gyel oszthatóvá teszi az összeget (a második b 11-gyel lenne nagyobb, ami nem lehet számjegy), így már csak 9 lehetőség kell vizsgálni. Sőt mivel az előző megmutatta, hogy csak a csak 1, 4, 5, 6 és 9 lehet, ezért csak 5-öt:

a = 1, b = 8,

a = 4-hez nincs ilyen b,

a = 5, b = 7,

a = 6, b = 4,

a = 9, b = 6.

A te dolgod, kedves kérdező, már csak annyi, hogy megnézd, négyzet szám-e

az 1881, 5775, 6446 vagy 9669.

5775 hárommal osztható, de 9-cel nem, tehát nem jó, hasonlóan a 9669 sem, 6446 hárommal osztva 2 maradékot ad, így az sem jó…

Az 1881-ből meg vonjál gyököt…

Amit az 1-es ír az is teljes értékű bizonyítás.

32^2 -től 99^2-ig felírod az összes számot, és megnézed, hogy van-e közte abba alakú.

Azt fogod találni, hogy nincs.

Ezt elrontottam:

„abba = 1001*a + 110*b = 11*(91*a + b)”.

Lemaradt egy 0. Helyesen

„abba = 1001*a + 110*b = 11*(91*a + 10b)”,

ahogy Ifjutitan írta. Nála a pont. (Innét kezdve következetesen rosszul csináltam…)

Nála csak ennyi a hiba:

> „Így kapsz 5 számot.”

Valójában csak 4-et, mert a = 4-hez nincs olyan b, hogy 11|(3*a – b).

a = 1, b = 3;

a = 4-hez nincs ilyen b;

a = 5, b = 4;

a = 6, b = 7;

a = 9, b = 5.

1331 2 maradékot ad 3-mal osztva, nem jó, 6776 szintén, ugyanezért. 9559 pedig 4-gyel osztva ad 3 maradékot, ami miatt nem lehet négyzetszám.

Maradt az 5445.

Én 5-öt kaptam.

a=4-hez, b=1.

3*4-1=11 ;-)