Mátrixos feladat?

Ne szívassátok már szegény kérdezőt. Szerintem most kezdik tanulni a mátrixokat gimiben, nem fognak ők sajétértékeket meg transzformációkat tanulni a közeljövőben.

Az n-edik hatvány az, hogy n-szer beszorzod a mátrixot saját magával.

Legyen ez a mátrix:

(a b)

(c d)

A négyzetéhez még saját magával szorzod össze:

(a b) (a b)

(c d) (c d)

Az eredmény egy 2×2-es mátrix lesz. Vektorok skaláris szorzatát biztos tudod. Az eredmény mátrix bal felső eleme úgy jön ki, hogy az első mátrix felső sorvektorát (a b) beszorzod a második mátrix bal oszlopvektorával (a c), a két vektor skalárszorzata lesz az elem:

a·a+b·c

A jobb felső elem az lesz, hogy a felső sort (a b) beszorzod a jobb oszloppal (b d):

a·b+b·d

Az alsó két elem is hasonló, csak az alsó sort (c d) kell a bal illetve a jobb oszloppal szorozni. Ez lesz a vége:

(a²+bc   ab+bd)

(ac+cd  bc+d²)

Ezt kell végigcsinálni az adott mátrixszal, a négyzet ez lesz:

(-1/2 -√3/2)

(√3/2 -1/2)

Szóval csak az előjelek változtak néhol!

Ha most ezt hasonlóan beszorzod megint az eredeti mátrixszal, egy nagyon egyszerű mátrixot fogsz kapni, amiből rögtön látod, hogy periódikusan fog ismétlődni a dolog. Már csak ezt a periódust kell kitalálni és felírni, hogy az n függvényében mi lesz az eredmény.

Számold ki tehát a harmadik hatványt. Ha nem jönnél rá a periódusra, szólj.

Nem egészen pontosan ezt javasoltam a 23:40-es hozzászólásomban?… Ha meg a mátrixszorzás nem megy neki, mikor már ilyen feladatot adnak fel, akkor érezze magán a mókusok megvető tekintetét.

(Amúgy gimiben nem követelmény a mátrixok, vagy ha mégis ott tanulják, akkor az már speciális matematika tagozat, ott meg tényleg elmondták, hogy hogyan kell transzformációs mátrixot csinálni… Általában mire ide jutnak van annyi vektor- és koordinátageometria mögöttük, hogy ez sima ügy. Azon filózom, hogy fizikából mit kellett volna gimiben átnéznem a mátrixoptikáról, ott kicsit hamarabb voltak a mátrixot, mint matekórán…)