Jó a bizonyítás? (lent)

Bizonyítsuk be, hogy egy P=(P;=<) részbenrendezett halmazban minden a,b*eleme*B-re a=<b akkor, és csak akkor, ha van valamely n pozitív egész, hogy van

c_0=a;...c_n=b, hogy minden i-re (i=1,2,...n)

c_(i-1)*követ*c_i, (vagyis c_i követi c_(i-1)-et)

Mivel a fene sem fog ennyit írni, ezért a követési relációt a továbbiakban k-val, az elemét e-vel fogom jelölni.

Az ekvivalencia miatt a bizonyításnak kétirányúnak kell lennie.

Tegyük fel, hogy a=<b

A bizonyítandó állításban szereplő c_i-knek feltétlen jelen kell lenni, hiszen ha [a;b]-ben P-ből nincs a-n, b-n kívül elem, akkor

a k b, vagyis a<b, és a < reláció definíciója alapján igaz az állítás vagy van köztük több elem, ekkor szintén a < reláció és a követési reláció definíciója lapján kell igaznak lennie a tételnek.

Tegyük fel másik irányból, hogy vannak a feltételnek eleget tevő c_i-k. Bizonyítani kell, hogy akkor a=<b.

Miután

c_(i-1) k c_i, ezért a c-i-k i növekedtével szintén növekednek, vagyis

c_0=a<c_n=b, a < reláció definíciója alapján pedig

a=<b.