: Bizonyítsd be (a polárkoordinátás formulák kiintegrálásával), hogy a bolygó-pályák (Kepler-pályák) egyenlete: r (φ) =p/ (1+εcos (φ) )!?

Nézd meg ezt a két oldalt egymás után:

[link]

[link]

Az első levezeti a polárkoordinátás formulát:

r'' - r·θ'² = -GM/r²

A második meg kiintegrálja. Először átalakítja egy másodrendű lineáris differenciál egyenletté, aztán a diffegyenletet megoldja. Így jön ki a (255)-ös egyenlet, ami ugyanaz, mint amit te kérdezel.

Lehet, hogy arra gondolsz, hogy nincs részletezve a (253) diffegyenlet megoldása, csak oda van írva a megoldás a (254)-be? Ha tanultál differenciál-egyenleteket, akkor ez a lépés nem túl bonyolult, levezetem.

Oldjunk meg egy egyszerűbb egyenletet először: Írd fel a diffegyenlet homogén alakját (vagyis most a jobb oldalon a konstans részt 0-nak vesszük)

d²u/dθ² + u = 0

d²u/dθ = -u

Ezt vagy kaspásból látja az ember, hogy két megoldása az u=cos θ valamint az u=sin θ (deriváld le őket), vagy ha nem, akkor fel kell írni a karakterisztikus egyenletet, de azt most hagyom, az bonyolultabb kicsit (komplex számok lesznek...)

Az általános megoldás a két megoldás lineáris kombinációja, vagyis:

u = A·cos θ + B·sin θ

(Ellenőrizd vissza, ez is megoldása a d²u/dθ = -u egyenletnek, ez az általános megoldás.)

Az eredeti inhomogén egyenlet (amikor a jobb oldalon nem 0 van) megoldása pedig ehhez képest egy konstansban fog eltérni:

u = A·cos θ + B·sin θ + C

Helyettesítsük ezt be a du²/dθ² + u = GM/h² egyenletbe:

(-A·cos θ - B·sin θ) + (A·cos θ + B·sin θ + C) = GM/h²

Minden θ kiesik, marad, hogy

C = GM/h²

Kész is vagyunk a diffegyenlet megoldásával:

u = A·cos θ + B·sin θ + GM/h²

Maradt még annyi, hogy szebb alakja legyen. Ami egy olyan trükk, hogy ha ugyanannak a szögnek (most θ) a szinusza meg koszinusza van így A és B-vel szorozva és összeadva, az felírható egyetlen koszinusszal is. Az meg úgy megy, hogy kiindulunk ebből az ismert dologból:

cos(x+y) = cosx·cosy - sinx·siny

D·cos(x+y) = (D·cosy)·cosx + (-D·siny)·sinx

vagyis

D·cos(x+y) = A·cosx + B·sinx

amikor is minden A és B-hez lehet találni megfelelő D és y értékeket, hogy ugyanaz az egyenlet legyen egyetlen koszinusszal. (Elvileg meg kell oldani az A=D·cosy és B=-D·siny egyenletrendszert, de mivel most A és B tetszőleges lehet, ezért D és y is tetszőleges lesz, szóval meg se kell oldani.)

Esetünkben ez lesz tehát a diffegyenlet fenti megoldása:

u = D·cos(θ+y) + GM/h²

amit formálisan átírhatunk így is:

u = GM/h²·(1 - e·cos(θ-θ₀))

Kész is, ez jött ki ott is (254)-ben.

Bocs, két helyen is d²u/dθ² helyett azt sikerült írjam az előbb, hogy d²u/dθ

Nagyon talán nem zavaró...