Bizonyítsa be, hogy öt egymást követő egész szám négyzetének összege nem lehet négyzetszám! Hogyan?

Legyen az öt számunk: n-2, n-1, n, n+1, n+2

m² = (n-2)² + (n-1)² + n² + (n+1)² + (n+2)²

m² = n²-4n +4 + n²-2n+1 + n² + n²+2n+1 + n²+4n+4

m² = 5n² + 10

m² = 5(n²+2)

Belátható, hogy jobb oldali kifejezés maradék nélkül osztható öttel (hiszen a zárójelben szereplő kifejezés egész). Emiatt m-nek is oszthatónak kell lennie öttel, azaz m felírható így: m = 5k, ahol k∈ℤ.

(5k)² = 5(n²+2)

25 k² = 5(n²+2)

5 k² = n²+2

Ebből viszont az derül ki, hogy a jobb oldali kifejezésnek maradék nélkül oszthatónak kell lennie öttel. Egy szám akkor osztható öttel, ha 0-ra, vagy 5-re végződik. Tehát n²+2 utolsó számjegye 0 vagy 5 lehet, amiből következik, hogy n² utolsó számjegyének 8-ra, vagy 3-ra kellene végződnie. Viszont nincs olyan négyzetszám, ami ezen két számjegyek valamelyikére végződne.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Az is belátható, hogy miért nem végződhet egy négyzetszám 3-ra, vagy 8-ra.

Adott egy n szám. Ez felírható a következő alakban:

10a + b, ahol a,b∈ℤ és b∈[0…9]

Ekkor (10a+b)² = 100a² + 2*10*a*b + b² = 10*(10a²+2ab) + b²

Az összeg első tagja 0-ra végződik, hiszen egy 10-es szorzó szerepel benne. Tehát n² utolsó számjegyét b² utolsó számjegye fogja adni. Nézzük mik a lehetőségek:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

Tehát b² utolsó számjegyei a következők lehetnek: 0,1,4,5,6,9

Nem végződhet egy négyzetszám a következő számjegyekre: 2,3,7,8