Hogyan bizonyitsuk be, h nem racionalisak: gyok alatt (7n+3) es gyok alatt (5n+3)?

Írd fel, hogy a 7k+0, 7k+1, ..., 7k+6 számok négyzetei milyen maradékokat adnak 7-tel osztva:

0, 1, 4, 9(=2), 16(=2), 25(=4), 36(=1)

Tehát 7n+3 nem lehet négyzetszám, csak 7n+0,1,2,4.

Közismert, hogy ha nem négyzetszám van a gyök alatt, akkor irracionális számot kapunk.

Ugyanígy 5-tel: csak 5n+0,1,4 lehet négyzetszám, 5n+3 nem.

Azt kell bizonyítani, hogy nincs 7n+3 alakú négyzetszám, azaz olyan, ami 7-tel osztva 3 maradékot ad.

Írd fel a számokat egymás után, alá a 7-tel osztás utáni maradékokat.

Rájössz, hogy 7-féle szám van, amelyek 7-tel osztva 0,1,2,...,6 maradékot adnak, és ezek ismétlődnek.

Úgy jelöljük, hogy 7k+0, 7k+1, ..., 7k+6 számok.

Pl. egy 7k+6 szám négyzete: (7k+6)^2 = 49k^2 + 2*7*6k + 36

Az első két tag osztható 7-tel, 36/7 pedig 1 maradékot ad.

Ha ezt megteszed a többivel 7k+0, 7k+1, ..., 7k+5 is, láthatod, hogy nem lesz olyan négyzet, ami 3 maradékot ad.

Tul.képpen csak a 7-nél kisebb számok négyzeteinek 7-tel osztási maradékait kell megfigyelni: nincs közte a 3

Ugyanígy 5-tel.

Triviális.