Hogyan lehet megoldani egy olyan diff. Egyenletet, amiben y*y' tag is szerepel?

Ezt papíron nem lehet megoldani egzaktul. Ha konkrét fizikai rendszert írna le, akkor meg lehetne indokolni hogy jogos lenne-e linearizálni adott esetben, de ez nem ír le egyetlen általam ismert rendszert sem.

Minden másra ott a Matlab.

#2-es vagyok. Jó ez a differenciálegyenlet, szép! Jól mondja itt valamelyik válaszadó, sajnos ennek nincs "szép" analitikus, zárt alakú megoldása.

Arra egyébként ne vegyünk mérget, hogy ilyen fizikai rendszer nem létezhet a gyakorlatban. Mondjuk, ha van egy tömegünk, és hozzákötünk egy csillapítót, az lehet ilyen rendszer, de nyílván a csillapító olyan, hogy a csillapítási tényező lineárisan növekedjék a tömeg elmozdulásával. (pl. a Stokes-féle súrlódási modell valami ilyesmi).

Az egyenletben lévő x-et meg gyakorlatilag egy időben lineáris gerjesztésnek tekinthetjük, és gyakorlatilag ezzel van itt a probléma.

Például ha kivesszük az x-et (azaz a rendszer szabad mozgását vizsgáljuk), akkor a megoldásnak van zárt alakja, mégpedig:

y[x]=Sqrt[2] Sqrt[C[1]] Tanh[1/2 (Sqrt[2] x Sqrt[C[1]] + Sqrt[2] Sqrt[C[1]] C[2])].

C[1] és C[2] konstansok, a kezdeti feltételtől függenek. (pl. megmondjuk, hogy x=0 időpontban mennyi az y elmozdulás, ill. az y' kezdősebesség).

Viszont ha berakjuk a gerjesztést, x-et akkor az igencsak beleszól a rendszerbe. Esetleg amit még érdemes lehet megvizsgálni, az a rendszer stabilitása, asszimptotikus megoldása, de ebbe most nem kezdenék bele.

A másik kérdés, ami felmerült, mi lenne ha elsőrendű lenne az egyenlet. Nos, ha kivesszük y "-őt, akkor az egyenlet nyílván szeparábilis, és ordít a megoldás:

y(x)=pluszminusz Sqrt[-x^2+C].

A feladatból végülis két nagy tanulság vonható le:

1. Láttuk, hogy egy-egy tag milyen jelentős mértékben hat ki a megoldásra.

2. A másodrendű, változóegyütthatós egyenletek tipikusan problémásak, és megoldásukra általános módszer nem ismeretes. Ilyen esetekben pedig a numerikus módszerek felértékelődnek, amit mondjuk matlabban le is lehet programozni,