Casus Irreducibilis?

Nem egeszen ertem a kerdest, mi a baj a megoldokeplettel? Vagy tobb modszert szeretnel ismerni, csak a lenyeg pont kimaradt a kerdesbol?

A komplex szamokkal barmelyik elso feleves egyetemi algebrajegyzetbol megismerkedhetsz. Pl Kiss Emiltol a Bevezetes az algebraba is a komplex szamokkal kezdodik.

A kérdésre:

Igen, valóban éppen ez a helyzet, mármint hogy 3 valós megoldáshoz mindenképpen komplex számok alkalmazásával lehet jutni. És az is igaz, hogy a képzetes részek kiütik egymást a megoldás során.

Olyasmiről van szó, hogy a három ún. harmadik egységgyök közül kettőnek a képzetes része épp ellentétes előjelű:

gyök(3)/2*i, ill. -gyök(3)/2*i.

De ehhez tényleg kicsit bele kell merülni a komplex számok témakörébe. SZtem a Bolyai-sorozat Komplex számok kötete is jó az ismerkedésre.

(Vigyázz, nem a Komplex függvénytan!)

Akármelyik algebrajegyzetben találkozol vele, de azért leírom; ha a valós együtthatójú harmadfokú egyenletnek legalább egyik gyöke racionális, akkor mindhárom gyöke meghatározható az egyenletnek, ezt a következőképpen lehetséges: legyen az egyenlet

a*x^3+b*x^2+c*x+d=0, ahol a;b;c;d valós számok, de a nem 0. Mivel feltesszük, hogy van legalább egy megoldás, ami racionális, ezért legyen ez a megoldás x=p/q, ahol p és q egészek és egymáshoz relatív prímek és q nem 0, ezt írjuk be x helyére:

a*(p/q)^3+b*(p/q)^2+c*(p/q)+d=0, kibontjuk a zárójelet és szorzunk q^3-nal:

a*p^3+b*p^2*q+c*p*q^2+d*q^3=0

Itt kétféleképpen tudunk vizsgálódni:

1) Amiből tudunk, emeljünk ki q-t, a maradékot vigyük át a túloldalra:

q*(b*p^2+c*p*q+d*q^2)=-a*p^3

Látható, hogy így mindkét oldalon szorzat van, és mivel minden tagja egész, ezért a szorzatok értéke is egész lesz. Ebből az következik, hogy q osztója a -a*p^3-nak, de mivel p és q relatív prímek voltak az elején, ezért ez csak úgy lehet, hogyha q|-a, a -1-es szorzó nem zavar sok vizet, ezért az is igaz, hogy q|a. Tehát, ha a gyök racionális, akkor annak a nevezője osztója az egyenlet főegyütthatójának.

2) Ugyanezt megcsináljuk p-vel is:

p*(a*p^2+b*p*q+c*q^2)=-d*q^3, az előző analógiát követve igaz lesz, hogy p|d, tehát a gyök számlálója osztója az egyenlet konstans tagjának.

Tehát, ha például az egyenlet:

3x^3+8x^2-4x+5=0, akkor megnézzük, hogy a főegyütthatónak mik az (előjeles) osztói:

3 osztói: -3, -1, 1, 3

5 osztói: -5, -1, 1, 5

Ezeket összeházasítjuk, tehát a lehetséges racionális gyökök: 5/3, 5, -5, (-5)/3, 1/3, 1 -1, (-1)/3. Ha ezek között van megoldás, akkor jók vagyunk; ha z megoldása, akkor kiemelhető belőle (x-z), ezt polinomosztással vagy jó átírással meg tudjuk tenni, ezután marad egy másodfokú egyenlet, amelyet már meg tudunk oldani a megoldóképlettel. Ha viszont nincs, akkor az egyenletnek nincs racionális megoldása, csak irracionális vagy komplex.

Ez a metódus egyébként bármilyen fokú egyenletre használható, neve: racionális gyökteszt.