Differenciál egyenlet megoldása?

z=y+x jelöléssel

z'=y'+1

így az egyenlet:

z'-1=tg^2(z)

z'=1+tg^2(z)

z'=1/cos^2(z)

dz/dx=1/cos^2(z)

cos^2(z)dz=dx

ez kiintegrálható szépen

(cos^2(z)=[cos(2z)+1]/2 átalakítással):

z/2+sin(2z)/4+const=x

2z+sin(2z)+c'=4x

2(y+x)+sin(2(y+x))+c'=4x

2y-2x+sin(2(y+x))+c'=0

na eddig jutottam, de nem tudom explicit alakra hozni

Más helyettesítésekkel is megoldható.

Legyen pl: w=[tg(x+y)]^2, ekkor nyílvánvalóan mivel

y=arctg(gyök(w))-x, ezért dy/dx=[w '/(2gyök(w)(1+w))]-1, amit visszaírva az eredeti diffegyenletbe:

dw/dx=2gyök(w)(1+w)^2, ami egy szeparábilis egyenlet:

dw/[2gyök(w)(w+1)^2]=dx. Ez már integrálható:

0.5[gyök(w)/(1+w)+arctg(gyök(w))]=x+C. Alkalmazva a w-re adott helyettesítést:

tg(x+y)/[1+(tg(x+y))^2]+y+x=2(x+C)=2x+K. Egyszerű trigonometrikus átalakításokkal:

0.5 sin[2(x+y)]=x-y+K, ami ugyanaz amit már levezettek.

Megjegyzem hasonlóan célravezető lehet az u:=y/x helyettesítés, mivel az egyenlet homogén fokszámú. Persze még további más megoldási módszerek lehetnek jók erre.