Egy derékszögű háromszög átfogója 4. Mekkora a két befogó hossza, ha a háromszög kerülete maximális?

Ha jól rémlik akkor a 2 befogó összege akkor a legnagyobb, ha a befogók egyenlőek.

innen 2a^2=c^2=4

a^2=2

a=gyök(2)

(I) a^2+b^2 = 16 (pitagorasz)

(II) k = a + b + 4

k = sqrt(16-a^2)+a+4

dk/da = 1-(a/sqrt(16-a^2)) (a szerint deriválod)

ahol a derivált 0 ott lesz a szélső érték:

dk/da = 0

1-(a/sqrt(16-a^2)) = 0

a = 2*sqrt(2) -> b = a

Ahogy a #3 írta már érthető? Itt látható is:

[link]

Deriválás nélkül is meg lehet oldani; legyen a keresett háromszög egyik hegyesszöge Ł, ekkor a befogók hossza 4*sin(Ł) és 4*cos(Ł), így a kerület

4+4*sin(Ł)+4*cos(Ł)=4*(1+sin(Ł)+cos(Ł)), de mivel Ł-tól függetlenül az átfogó hosszából származó +4 mindig megjelenik, akár el is hagyható a zárójelen belül az a +1, így sin(Ł)+cos(Ł) maximumát elég csak vizsgálni. Mivel sin(Ł) és cos(Ł) is pozitív, ezért összegük is az lesz, így nyugodt szívvel négyzetre lehet emelni, majd utána rögtön gyököt is lehet vonni, hogy értéke ne változzon:

gyök(((sin(Ł)+cos(Ł))^2)=gyök(sin^2(Ł)+2*sin(Ł)*cos(Ł)+cos^2), itt két azonosságot is tudunk használni:

sin^2(Ł)+cos^2(Ł)=1

2*sin(Ł)*cos(Ł)=sin(2Ł), így

=gyök(1+sin(2Ł)), ennek már nem nehéz kitalálni, hogy Ł=45° esetén lesz maximuma, ekkor gyök(1+1)=gyök(2) adódik az összeg maximumára, így a kerület maximuma 4*(1+gyök(2))=4+4*gyök(2).

Persze deriválással sokkal hamarabb kijön, de aki nem tud deriválni, annak nem fog menni.

Deriválás és trigonometria nélkül, a legelemibb módszerrel:

0 ≤ (a-b)²

⇕

2ab ≤ a² + b²

⇕

a² + b² + 2ab ≤ 2a² + 2b²

⇕

(a+b)² ≤ 2(a² + b²)

⇕

(k-c)² ≤ 2c² | (ez minden derékszögű Δ-ben igaz)

⇕

(k-4)² ≤ 32

A kiindulási egyenlőtlenségnél

(mely után azonos átalakítások következtek)

akkor és csak akkor van egyenlőség, ha

a = b

azaz:

a = b = 2√2