Igaz-e következő polinomokkal kapcsolatos állítás?

Az én eszmefuttatatásom alapján nem igaz. Vegyük példaként az p(x) = x^3 polinomot.

x^3 p(1/x) = x^3/x^3 = 1 (ha x!=0)

Tekintsük azokat a harmadfokú polinomokat, amik felírhatók a következő formában:

a(x - x1)(x - x2)(x - x3)

Ahol x1, x2 és x3 a három gyök, "a" pedig egy valós szám.

Ennek a megadott módon átalakított formája:

x^3 a(1/x - x1)(1/x - x2)(1/x - x3)

Itt minden zárójeles tényezőre jut egy x szorzótényező, ezért átalakítható ekvivalensen:

a(1 - x*x1)(1 - x*x2)(1 - x*x3)

Észre vehető, hogy ha valamelyik gyök nulla, akkor a hozzá tartozó zárójeles tényező kiesik, mivel 1 lesz. Ilyenkor a keletkező polinom nem harmadfokú lesz, tehát ekkor sem igaz az állítás.

Ha egyik gyök sem nulla, akkor a kifejezés átírhatő a következő módon:

(-a x1 x2 x3)(x - 1/x1)(x - 1/x2)(x - 1/x3)

Szorozd végig és kijön, hogy ugyan az.

Ez felismerhetően egy harmadfokú polinom, aminek gyökei 1/x1, 1/x2 és 1/x3.

De még mindig nem vagyunk kész:

Nem minden harmadfokú polinom faktorizálható így a három gyöke szerint, mégpedig azok nem, amelyeknek nincs három gyöke (és nincs többszörös gyöke, ezért ne tévesszen meg pl. az x^3 polinom aminek bizonyos értelemben három gyöke van, és mind nulla)

Jó példa erre az (x - 2)(x^2 + 1) polinom. Ennek egy gyöke van, a 2.

A fenti módszerrel átalakítva kapjuk a

-2(x - 1/2)(x^2 + 1) polinomot. Mint látjuk itt az állítás megállja a helyét.

Ezeket a komplex számok körében tovább lehet faktorziálni. Csak olyan eshetőség van, hogy a felbonthatatlan zárójeles tényező másodfokú (mivel mindig van egy gyök, a mellette maradó elsőfokú polinomnak pedig mindig van gyöke), így az ilyen polinomok felbonthatóak:

a(x - x1)(x - z2)(x - z3) = a(x - x1)(x^2 - x(z2 + z3) + z2 z3)

Ahol x1 a valós gyök, z2 és z3 pedig a két komplex gyök (mindig van három gyök, csak valamelyik komplex lesz). Az egyenlőségjel után látszik, hogy z2+z3 és z2*z3 valós számnak kell lennie, mert ezek a másodfokú irrrducibilis tag valós együtthatói.

Alakítsuk át az állításnak megfelelően:

-(a x1 z2 z3)(x - 1/x1)(x - 1/z2)(x - 1/z3) = -(a x1)(x - 1/x1)(1 - x*z2)(1 - x*z3) = -(a x1)(x - 1/x1)(1 - x(z2 + z3) + x^2 z2 z3)

A legutolsó formában látható, hogy az egyetlen valós gyök a reciprokává változott (amennyiben nem nulla, mert akkor eltűnik), az irreducibilis másodfokú polinom pedig továbbra is egy gyök nélküli valós együtthatójú polinom maradt, tehát az állítás általánosan is igaz rájuk.

Konklúzió: az állítás csak akkor igaz, ha egyik gyök sem nulla. Remélem nem lett túl hosszú, ha van kérdésed írj nyugodtan!:)