Az egymást követő negyedik hatványok közötti prímek darabszámai monoton növekvő sorozatot alkotnak? Miért?
Azaz: n^4 és (n+1)^4 között mindig legalább annyi prím van, mint (n-1)^4 és n^4 között?
1 és 2^4 között 6, 2^4 és 3^4 között 16, 3^4 és 4^4 között 32 db prím van, stb.
A sor. eleje: 6,16,32,60,96,147,...
Az intervallumok egyre nagyobbak, de a prímek sűrűsége egyre kisebb, és a tényleges számoknak az elméletileg várthoz képesti szórása(~√x) is relatíve egyre kisebb.
Mi ezeknek az eredője?
(3. hatvánnyal az állítás nem lenne igaz.)
válasza:Számold végig, k^4 és (k+1)^4 illetve (k+1)^4 és (k+2)^2 közé mennyi prím esik.
Az elõbbire adj fölsõ, az utóbbira alsó becslést, és, láss csodát, az utóbbi nagyobb lesz.
(gondolom)
"Számold végig, k^4 és (k+1)^4 illetve (k+1)^4 és (k+2)^2 közé mennyi prím esik."
Ebből kijön, hogy egyre több prím VÁRHATÓ, ill. lesz átlagosan.
"Az elõbbire adj fölsõ, az utóbbira alsó becslést"
Pont ez a problémám, hogy nem tudom mennyi lesz a szórás, az eltérés a várhatótól.
Pl. k=200 környékén 1.48mill, 1.50mill, 1.52mill, ...db prím várható az intervallumokban, de eltérhetnek-e annyira ezektől, hogy egy előző nagyobb lesz egy következőnél.
Azt SEJTEM, hogy a szórás arányos a várható dbszám gyökével, tehát pl. c*gyök(1.50m) (és normál eloszlást feltételezek).
Nagyon nem mindegy, hogy mekkora a c konstans!
Ha c=1 akkor a 10-10000-es eltérésnek 1200-as szórás mellett (8-szorosa a szórásnak) szinte 0 az esélye.
Pláne így van, ha c<<1.
De ha pl. c > 2-3 akkor biztos elő fog fordulni...
Az a kérdésem, hogy igazak-e a feltételezéseim, ill. ha igen, c=?
válasza:Jaj, ne már. Nem olyan ördöngõsség "konkrét" korlátot találni, elég nagy az internet.
Ha valahol nag O-t írnak, akkor valaki meg is adott egy jó konstanst, vagy mi.
Angol wiki megfelelõ szócikkét nézted?
Pl mit szólsz ehhez:
x > 55-re
x/(log(x)+2) < pi(x) < x/(log(x)-4)
Az 55 alatti prímeket megnézed, felette meg ez elég erõs lesz, nem?
(Nem tudom, én nem értek ehhez.)
"x/(log(x)+2) < pi(x) < x/(log(x)-4)
Az 55 alatti prímeket megnézed, felette meg ez elég erõs lesz, nem?"
Sajnos teljesen használhatatlan egy ilyen pi(x)-re vonatkozó alsó, felső korlát. Vannak sokkal jobbak is, de azok sem jók, mert pi(x)-re vonatkoznak, és pi(y)-pi(x) -re, - ha x és y rel. közel van, - akkor semmit sem mond.
Mint amikor két közel egyforma számot kivonsz egymásból: eltűnik, elfogy a pontosság.
Az előző példámra alkalmazva a képletedet:
x=200^4 esetén: 68985531 > pi(x) > 93059671
x=201^4 esetén: 70315141 > pi(x) > 94824840
Tehát azt sem zárná ki, hogy 0 prím van (vagy akár 25m, pedig tudjuk, hogy kb. 1.5m van) az intervallumban, nem hogy növekményről beszélhetnénk...
válasza:Oké, ezek tök használhatatlanok ekkora léptékben. :(
Föltetted a mathoverflow/math.stackexchange -re is a kérdést?
(Ha van linked, érdekelne hogy mit mondanak.)
Sajnos annyira azért nem vágom az angolt. :C
Azért erőltetném ezt a szórás ~ c*√x dolgot, mert ez látszatra sokkal közelebb visz a megoldáshoz.
Nézegettem, hogy mennyire lehet ez jó, és persze c nem konstans, de mindig 0.5-1 közé jött ki, nagyobb intervallum esetén kisebb.
Pl. ha egy intervallumban 100 prímnek "kellene lenni", akkor ennek kb. 10 a szórása, ha 1000000-nak akkor csak kb. 6-700.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!