Többváltozós függvény harmadik (negyedik stb. )
deriváltja mi?
Figyelt kérdés
Ha adott egy függvény, f: R^n --> R, aminek az első deriváltja adott helyen egy R^n-beli vektor, második deriváltja egy R^(nxn)-beli mátrix (Hesse-mátrix), a harmadik deriváltja már egy 3-dimenziós mátrix lenne?
Illetve ha vektorértékű függvény, akkor ehhez hasonlóan, a második derivált egy 3-dimenziós mátrix?
Először is a kérdésedhez fűzött magyarázatodban találtam egy-két hiányosságot. Az a bizonyos "R^(nxn)-beli mátrix (Hesse-mátrix)" négyzetes mátrix, ami felfogható egy másodrendű tenzornak is. Itt érdemes áttanulmányoznod a az angol nyelvű Wikipédián Jacobian matrix and determinant c. rész elejét, különösen Jacobian matrix alfejezetből azt a képletet, amely felhasználja a kis ordó szimbólumot és egy norma jelöléssel zárul. Ennek a másodfokú approximációt tartalmazó részével még nem találkoztam eddig. És az a bizonyos "3-dimenziós mátrix" egy harmadrendű tenzor akart nálad lenni. Viszont egy másik oldalon a Hessian matrix oldal Vector-valued functions afejezete kimond egy érdekes tételt, ami lényegében a Hesse-féle operáció tagonkénti végrehajtásáról ír. A kérdésed mögött az van, hogy az analízisben hogyan lehet a deriválást általánosítani. Erre ad ajánlást a Generalizations of the derivative c. Wikipédiás oldal. Számtalan megközelítés közül én most csak hármat emelnék ki a komplex függvénytan Schwarz-deriváltja és a funkcionálanalízis Gâteaux deriváltja és a q-derivált. Ezek mind nagyon komoly elméletekre épülnek. Sz. Gy.
2016. jún. 17. 20:06
Hasznos számodra ez a válasz?
2/5 anonim válasza:
Nem tudom, hogy mennyire szokták ezeket használni, de semmi akadálya hogy definiáld őket.
A k-adfokú parciális deriváltakból n^k lesz, ezeket k "dimenziós" mátrixba rendezheted, bár a dimenzió szót nem erre használjuk, legfeljebb köznyelvileg, hiszen a mátrix n×n×...×n dimenziós. Tenzoroknál az ilyet k-adrendűnek hívják.
Ha vektorértékű a függvényed, akkor ahhoz jön még egy "dimenzió", hogy minden komponensnek legyen egy saját n×n×...×n dimenziós mátrixa.
2016. jún. 17. 20:25
Hasznos számodra ez a válasz?
3/5 anonim válasza:
Kénytelen vagyok még két kiegészítéssel élni. Egyik az, hogy az a bizonyos approximáció-képlethez fűzött angol nyelvű magyarázatban is ||x-p||-ről van szó. Továbbá az általad elképzelt harmadrendű tenzor reprezentánsában harmadrendű parciális deriváltak szerepelnének. Sz. Gy.
2016. jún. 17. 20:42
Hasznos számodra ez a válasz?
4/5 anonim válasza:
A definíciókkal nincs semmi baj. A négy évtizedes gyakorlatom azt sugallja, hogy nem szokás az általad említett formát használni, de nem jelenti azt, hogy nem így van. Javaslom még, hogy a kérdésedet tedd fel az index-fórum Matematika-egyéb topikjában is.
És még összefüggés az általam említett két mátrix között: H(f)(x) = J(∇f)(x), ahol f: R^n --> R.
Továbbá legyen g legyen R^n->R^m típusú, ekkor
H(g)=(H(g1), H(g2),...,H(g(m)) harmadrendű tenzort szeretnénk alkalmazni. Sz. Gy.
2016. jún. 17. 21:15
Hasznos számodra ez a válasz?
5/5 A kérdező kommentje:
Köszönöm mindenkinek a válaszokat! Éppen záróvizsgára készülök, és felmerült bennem megint ez a kérdés, most végre feltettem. Egyetemen nem volt róla szó soha, pedig alk. mat. szak. Igaz, ez nem is kell záróvizsgára. Utána mindenképp elolvasom az ajánlott oldalakat!
A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik. Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!
válasza: