Mi törpénne ha fúrnánk egy lyukat a Földön keresztül ami átmenne a közepén is és beledobnánk vmi tárgyat?

Egyenletes tömegeloszlás esetén a gravitációs gyorsulás a Föld középpontjától való távolsággal egyenesen arányos. Nem egyenletes tömegeloszlás esetén már változik a képlet, lehetne számolgatni, de minek? A végeredmény ugyanaz.

Mikor a test elindul, akkor nincs mozgási energiája. Kizárólag gravitációs potenciális, ha úgy tetszik helyzeti energiája van (E = m * g * r). Ahogy halad lefele, a helyzeti energiája csökken, de az energiamegmaradás miatt ennek valamivé át kell alakulnia, itt mozgási energiává alakul át (E = 1/2 * m * v²). Hogy mekkora sebességet ér el a Föld tömegközéppontjában, az ebből könnyen ki lehet számolni:

1/2 * m * v² = m * g * r

v = √(2 * g * r) = 11 180 m/s = 40 248 km/h

De ugye a test nem áll meg itt, hiszen tetemes sebessége van, így halad tovább a maga útján. A mozgási energiájából folyamatosan veszít, ami helyzeti energiává alakul át, csak immár a Föld másik oldalán. Megállni akkor fog, mikor a mozgási energiája nulla nem lesz, de ekkor E = m * g * r helyzeti energiájának kell lennie, azaz ugyanolyan távolságra kell lennie a Föld tömegközéppontjától, amilyen távolságra volt a bedobás pillanatában. Ergo nagyjából el kell érnie a másik oldalon a felszínt. De ott nincs, ami helyben tartaná, így újra elindul a Föld középpontja felé, és kezdődik az egész elölről.

Tehát mindegy, milyen a Föld tömegeloszlása, homogén-e vagy sem, a lényeg ugyanaz. Rezgőmozgás alakul ki. Ha a bedobás pillanatától számítjuk az időt, akkor a test magasság az idő függvényében egy koszinusz hullámot ad ki, a test sebessége meg szinusz hullámot. Ha a Föld nem egyenletes tömegeloszlású a Föld – ahogy nem az –, akkor maximum ezek a hullámformák nem lesznek szabályosak, kicsit összenyomódnak, széthúzódnak, de ugyanúgy egy pozitív és negatív maximum közötti szimmetrikus, szigorúan monoton függvényt írnak le.

Ha a közegellenállást is figyelembe vesszük, akkor a sebeség kvázi szinusz hullámnak az amplitúdója fog csökkenni, ahogy a mozgási energia részben a közeg mozgási energiájává, illetve hővé alakul át.

Örülök, hogy sikerült mégis elvetned a hiperbola koncepciót.

Igen, a föld nem homogén, de mégis úgy számolnak, mert nincs gyakorlati jelentősége (itt is nyilván katasztrofális lenne, ha kiderülne, hogy egy kilós golyó egy 10 m átmérőjű cső falának menne neki állandóan, a különböző eltérítő hatások okán).

De könnyedén megígérhetem, hogy pontos lefutási görbét szolgátatok, ha valaki megadja kellő pontossággal a föld pontos tömegeloszlását (nem egy merész vállalás, mert ha azt valaki megszerzi és itt le is közli, hát... )

Egyenletes körmozgással (homogén eloszlású Földdel) számolva, 6400 km sugárral és 84 perc periódusidővel v=2RPi/T= 8140 m/s jön ki.

Az első kozmikus sebességnek, 7900 m/s-nek kéne kijönnie, annyira nem örülünk.

Hogy mekkora sebességet ér el a Föld tömegközéppontjában.

Csak én nem a konstans erőtérben érvényes energiaképlet szerint :P