Einstein-összegzés néhány tulajdonságának a bizonyítása?

Bizonyítsuk be, hogy az E(x,y):=(x+y)/(1+xy) Einstein-összeg nem lehet egynél nagyobb, ha |x|>1 és |y|>1. Ha pedig egynél kisebb, akkor legalább az egyik változóban, legyen ez az x, |x|≤1. Magyarán az "inputok" (x,y változók) és "output" (Einstein összegzés) abszolút értékeire teljesül az, hogy vagy mind a három érték kisebb vagy egyenlő 1, vagy maximum két érték lehet nagyobb 1-nél, de akkor a harmadik érték kisebb lesz mint 1.

Bizonyítandó hasonló tulajdonság az F(x,y):=(x+y)/(1-xy) összegre is. Mindkét összegzés rendelkezik egyfajta "csoport tulajdonság"-gal is: invertálási lehetőség fennállása, egységelem létezése (e=0), végtelen elem létezése(λ=1 és -1 illetve λ=i és -i) és a kommutatív-tulajdonságuk miatt. Az Einstein-összeg asszociativitása is fennáll. Az F(x,y)-nél viszont élni kell az xy ≠ 1 kikötéssel. Bevezetve a γ(x):=1/√(1-x^2) illetve β(x):=1/√(1+x^2) egyváltozós függvényeket, bizonyítsuk be, hogy |x| ≠ 1 |y| ≠ 1 esetén az Einstein-összeg rendelkezik a gamma-azonossággal:

γ(E(x,y))=γ(x)γ(y)(1+xy), míg az F(x,y) összeg rendelkezik a beta-azonossággal:

β(F(x,y))=β(x)β(y)(1-xy).