Számosságok számossága megszámlálható?

Ugye a Cantor-tétel miatt végtelen számosság létezik. Eddig oké.

A számosságot szoktuk indexxel jelezni: ℵ₀, ℵ₁, stb… Ezt a jelölést nézve a számosságok halmazának számossága ℵ₀ kellene, hogy legyen, hiszen az index egy bijekció a természetes számokkal.

Csakhogy kérdés, hogy ez a jelölés helyes-e. Itt jön képbe a kontinuumhipotézis, ami hipotézisként azt sejteti, hogy a valós számok halmazának minden végtelen részhalmaza vagy a valós, vagy a természetes számokkal azonos számosságú. Pongyolábban megfogalmazva a hipotézis szerint nincs számosság ℵ₀ és ℵ₁ között.

A valódi probléma, hogy ez a hipotézis sem nem cáfolható, sem nem bizonyítható. Pontosabban sem az állítás, sem annak az ellentéte nem vezet ellentmondásra, ez az állítás független a halmazelméleti axiómáktól, nem következik azokból egyik sem.

Ergo nem lehet azt mondani, hogy létezik mondjuk ℵ₀,₅, sem azt hogy nem létezik. Így tehát nem tudjuk hogy az ℵ alsó indexében természetes, vagy valós számok állnak.

A kérdés így megválaszolhatatlannak tűnik. Akár igennel válaszolok a kérdésedre, akár nem, azt sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet.

A számosságok nem alkotnak halmazt. A számosságok nemlétező halmazának ezért nincs is számossága.

Sü, ne beszélj zöldségeket.

A természetes számok számossága ℵ₀

A valós számok számossága ℵ₁

Egy 2^(ℵ₁) > ℵ₁, jelöljük ezt ℵ₂-vel.

Egy 2^(ℵ₂) > ℵ₂, jelöljük ezt ℵ₃-mal.

Ezek fogalmak. Objektumok. Vagy ha úgy jobban tetszik jelek (jelölések). Sőt még – bár a halmazképzésnek ez nem feltétele – van sorrendiségük is. Miért ne lehetne halmazba foglalni őket? Például így:

H = {ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, ℵ₃, ℵ₄, ℵ₅, …}