Levezethető-e egy geometriai ábrával sin (12°) és cos
(12°) pontos értéke?
Figyelt kérdés
Algebrailag levezethető, ha a többi ismert összefüggéseket is elővesszük. Hasonló, de összetettebb ábrára gondoltam, mint a sin(30°) és cos(30°) esetén tanultunk az iskolában. Tudniillik sin(12°)=√(√5/32 + 5/32) - √15/8 + √3/8, egy egymásba helyezett gyökös kifejezésekkel állítható elő.
Egy ki nem mondott tétel szerint az összes 3-al osztható fokmértékben értelmezett egész szinusza és koszinusza kifejezhető ilyen egymásba helyezett gyökös kifejezésekkel. Sz. Gy.
#gyökös kifejezések a trigonometriában
2018. márc. 29. 11:03
1/7 anonim válasza:
Tekintve hogy minden szerkeszthető szám (=szerkeszthető szakasz hossza) algebrai is egyben, ezért ha eldöntendőként teszed fel a kérdést, akkor: igen.
A sin(12°) és cos(12°) szerkeszthetőek, mivel a 30 oldalú szabályos sokszög szerkeszthető, és a két szám egy főátló egy szomszédos főátlóra való vetítésével szerkeszthető.
2018. márc. 29. 11:43
Hasznos számodra ez a válasz?
2/7 A kérdező kommentje:
Köszönöm a választ. Most látom, hogy agyon ostobán tettem fel a kérdésemet. Az én problémám az, hogy miként vezethetők le egy geometriai ábra segítségével ezek a gyökös kifejezések. "Miért annyi az annyi?" sin(k*3°) és cos(k*3°) értékeit szeretném levezetni, ahol k∈[1,29]∩ℕ. De nem algebrailag, hanem geometriai ábrák segítségével. A Wikipédia német nyelvű oldala talán segítségemre lesz: Regelmäßiges Polygon. Sz. Gy.
2018. márc. 29. 18:18
3/7 A kérdező kommentje:
Nézzük meg egy pillanatra, hogy mi a helyzet a 18°-al. A szabályos tízszög oldala annak az aranymetszésnek a kisebbik szelete, amelynek a nagyobbik szelete a kör sugara. Ennek a tételnek az ismerete kell a 18° és 72° trigonometrikus függvényeinek megállapításához. Legyen körül írt kör sugara az r=1 és ekkor az egyenlőszárú háromszögünk a alapjára (√5-1)/2 adódik. A fenti tétel ismerete nélkül nem tudunk előbbre haladni. Gyanítom, hogy a szögeken nem tetszés szerinti sorrendben kell a vizsgálódásokat elvégezni. Sz. Gy.
2018. márc. 29. 21:12
4/7 anonim válasza:
Szerintem a 15 oldalú sokszögből, mint geometriai ábrából értelmes dolog kiindulni. Analitikus képlet vezethető le ugyanis szabályos n oldalú sokszög kerületére.
Ez a szabályos sokszög egyenlőszárú háromszögekből áll, ahol a szár hozza a köréírható kör sugara.
Az egyenlőszárú háromszög fölbontható két derékszögűre, és a magasságvonal, és a szár által közbezárt szög épp 12 fok lesz.
Én ebből gondolkodnék első körben.
2018. márc. 30. 19:29
Hasznos számodra ez a válasz?
5/7 A kérdező kommentje:
A derékszögű háromszög nyilvánvaló. Ha a körülírt kör sugara r=1, akkor a magsságvonal a cos(12°) és a szabályos sokszög oldalának a fele a sin(12°). Hogyan tovább? Az az érzésem, hogy valamilyen ismeret még szükségeltetik a tovább lépéshez...
2018. márc. 31. 15:30
6/7 A kérdező kommentje:
Az algebrai úton 30°-18°=12°
2018. márc. 31. 16:15
7/7 A kérdező kommentje:
Az algebrai úton 30°-18°=12°. 30° és 18° trigonometrikus fügvvény értékei ismertek. Így előjöhetnek azok az összetettebb gyökös kifejezések és nekem ennyi elégéséges. A geometriai szemléltető ábrán még gondolkozom. Sz. Gy.
A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik. Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!
válasza:
válasza: