Hogy lehet felbontani a 30-at ket olyan szamra, melyeknek a negyzetosszege minimalis?

Ez egy kétváltozós feltételes szélsőérték-feladat:

a szélsőérték: x^2+y^2=min

feltétel: x+y=30

Ez többféleképp megoldható. Mivel y=30-x, ezt beírhatjuk az első részbe:

x^2+(30-x)^2=min, kibontva 2x^2-60x+900=min.

Osztva 2-vel, elég vizsgálni az f(x)=x^2-30x+450=min függvényt, ami egy parabola.

Teljes négyzetté alakítva:

f(x)=(x-15)^2-225+450.

Látható, hogy a minimumhely x=15. Ezért x=15; y=15 páros a megoldás.

Persze megoldhattam volna Lagrange-multiplikátor-módszerrel is, vagy deriválással, de gondolom általános iskolába adták fel a példát, így azt nem értetted volna.

Bónuszfeladat a kérdezőnek, vagy aki tovább akarja gondolni a példát.

Bontsuk fel 30-at az x1,x2,...,xn (n darab) szám összegére. Igazoljuk, ha a négyzetösszeg minimálása a cél, akkor

minden 1<=k<=n-re igaz hogy

xk=30/n.

Kicsit más megközelítésből, annak a sejtésnek a felhasználásával, hogy a minimális akkor lesz a négyzetösszeg, ha két egyenlő tagként írjuk fel a számot, mint összeget.

Van egy számunk. Legyen ez a szám:

2n

A szám nyilván felírható n+n összegként. Ebben az esetben az összeg két tagja négyzetének összege:

n² + n² = 2n²

Most írjuk fel máshogy összegként. Legyen az összeg kisebbik tagja:

n - m , ahol m>0

Ekkor az összeg nagyobbik tagja:

2n - (n - m) = 2n - n +m = n + m

lesz.

Ekkor a két tag négyzetének összege:

(n - m)² + (n + m)² =

= (n² - 2nm + m²) + (n² + 2nm + m²) =

= 2n² + 2m²

Tehát bármekkora is m, az így felírt összeg tagjai négyzetének összege pontosan 2m²-el lesz több, mintha a számot úgy írnánk fel összegként, hogy a szám feléhez a szám felét adjuk hozzá.

~ ~ ~

30 = 15 + 15

Ekkor:

15² + 15² = 2*15² = 450

Írjuk fel mondjuk így: 30 = 10 + 20

Ekkor:

10² + 20² = 100 + 400 = 500

Kicsit máshogy:

30 = (15 - 5) + (15 + 5)

Így:

(15 - 5)² + (15 + 5)² =

= (15² - 2*15*5 + 5²) + (15² + 2*15*5 + 5²) =

= 2*15² + 2*5² =

= 450 + 2*5² =

= 450 + 50 =

= 500

szerintem 3 és 0 -ra kell felbontani:

3^2 + 0^2 = 9

#5: No igen, a feladat nem lett precízen megfogalmazva, nyilván jogos az a sejtésünk, hogy a kérdező a felbontás alatt két szám összegére való felbontást értette, és nem mondjuk két szám szorzatára való felbontást, vagy egyéb jellegű felbontást.

#4: Igen, több tagra is belátható a dolog.

Írjuk fel a számunkat így:

x = n*a

ahol „x” a felbontandó számunk, „n” az összeg tagjainak száma, nyilván „a” a szám n-ed része lesz.

Ebben az esetben a négyzetösszeg így néz ki:

s = a[1]² + a[2]² + … + a[n-1] + a[n]²

Most állítsuk növekvő sorrendben az összeg tagjait, azaz

a[i] ≤ a[i+1]

Így nyilván azt kapjuk, hogy

a[1] ≤ a[n]

Az összegünk közbenső tagjait jelöljük O-val, ekkor:

O = a[2] + … + a[n-1]

ekkor:

s = a[1]² + O + a[n]²

Vegyük a legkisebb és legnagyobb tag átlagát, jelöljük mondjuk g-vel:

g = (a[1] + a[n]) / 2

Ekkor:

a[1] = g-m

a[n] = g+m

Az összegünk:

s = a[1]² + O + a[n]² =

= (g-m)² + O + (g+m)² =

= g² - 2gm + m² + O + g² + 2gm + m² =

= 2g² + 2m² + O

Most cseréljük ki az a[1]-et és a[n]-t g-re. Megtehetjük, hiszen:

g + g = 2g = 2 * (a[1] + a[n]) / 2 = a[1] + a[n]

Ekkor az így kapott összeg – jelöljük t-vel – ez lesz:

t = g² + O + g² = 2g² + O

Tehát azzal, hogy a legkisebb és legnagyobb tagot a két tag átlagára cseréljük, így egyrészt 2m²-el csökken a négyzetösszegünk. Másrészt – hacsak nem áll fenn az a speciális eset, hogy van a legkisebb és legnagyobb taggal egyenlő két másik tag is az összegben – mindenképpen csökken a legnagyobb és a legkisebb tag közötti különbség. Ha mégis fennállnak ez a speciális eset, akkor csökken azon tagok száma, ami ezzel a legkisebb, illetve legnagyobb számmal egyenlőek.

Ha a végtelenig ismételgetjük az eljárást, akkor egyrészt a tagok négyzeteinek összege folyamatosan csökkenni fog, másrészt a legnagyobb és a legkisebb tag közötti különbség is folyamatosan csökkenni fog. A tagok négyzeteinek összege konvergálni fog a minimumhoz, a tagok meg konvergálni fognak egy azonos érték felé, ami a szám n-ed része.

Pl:

30 = 0 + 5 + 5 + 8 + 12

Az induláskor a legnagyobb és a legkisebb tag különbsége: 12

1. iteráció:

30 = 0 + 5 + 5 + 8 + 12

s = 0² + 5² + 5² + 8² + 12² = 258

g = (0 + 12) / 2 = 6

30 = 6 + 5 + 5 + 8 + 6

t = 6² + 5² + 5² + 8² + 6² = 186

A négyzetösszeg csökkenése: 72

A új összegben a legnagyobb és legkisebb tag különbsége: 3

2. iteráció:

30 = 5 + 5 + 6 + 6 + 8

s = 5² + 5² + 6² + 6² + 8² = 186

g = (5 + 8) / 2 = 6,5

30 = 6,5 + 5 + 6 + 6 + 6,5

t = 6,5² + 5² + 6² + 6² + 6,5² = 181,5

A négyzetösszeg csökkenése: 4,5

A új összegben a legnagyobb és legkisebb tag különbsége: 1,5

3. iteráció:

30 = 5 + 6 + 6 + 6,5 + 6,5

s = 5² + 6² + 6² + 6,5² + 6,5² = 181,5

g = (5 + 6,5) / 2 = 5,75

30 = 5,75 + 6 + 6 + 6,5 + 5,75

t = 5,75² + 6² + 6² + 6,5² + 5,75² = 180,375

A négyzetösszeg csökkenése: 1,125

A új összegben a legnagyobb és legkisebb tag különbsége: 0,75

…

10. iteráció:

30 = 5,996093 + 5,996093 + 6 + 6 + 6,007812

s = 5,996093² + 5,996093² + 6² + 6² + 6,007812² = 180,000091

g = (5,996093 + 6,007812) / 2 = 6,001953

30 = 6,001953 + 5,996093 + 6 + 6 + 6,001953

t = 6,001953² + 5,996093² + 6² + 6² + 6,001953² = 180,000022

A négyzetösszeg csökkenése: 0,000068

A új összegben a legnagyobb és legkisebb tag különbsége: 0,005859

…

15. iteráció:

30 = 5,999755 + 6 + 6 + 6,000122 + 6,000122

s = 5,999755² + 6² + 6² + 6,000122² + 6,000122² = 180,000000

g = (5,999755 + 6,000122) / 2 = 5,999938

30 = 5,999938 + 6 + 6 + 6,000122 + 5,999938

t = 5,999938² + 6² + 6² + 6,000122² + 5,999938² = 180,000000

A négyzetösszeg csökkenése: 6,705522e-8

A új összegben a legnagyobb és legkisebb tag különbsége: 0,000183

…

20. iteráció:

30 = 5,999996 + 5,999996 + 6 + 6 + 6,000007

s = 5,999996² + 5,999996² + 6² + 6² + 6,000007² = 180,000000

g = (5,999996 + 6,000007) / 2 = 6,000001

30 = 6,000001 + 5,999996 + 6 + 6 + 6,000001

t = 6,000001² + 5,999996² + 6² + 6² + 6,000001² = 180,000000

A négyzetösszeg csökkenése: 6,548361e-11

A új összegben a legnagyobb és legkisebb tag különbsége: 0,000005

…

30. iteráció:

30 = 5,999999 + 5,999999 + 6 + 6 + 6,000000

s = 5,999999² + 5,999999² + 6² + 6² + 6,000000² = 180

g = (5,999999 + 6,000000) / 2 = 6,000000

30 = 6,000000 + 5,999999 + 6 + 6 + 6,000000

t = 6,000000² + 5,999999² + 6² + 6² + 6,000000² = 180

A négyzetösszeg csökkenése: 0

A új összegben a legnagyobb és legkisebb tag különbsége: 5,587935*10^-9

…

50. iteráció:

30 = 5,999999 + 5,999999 + 6 + 6 + 6,000000

s = 5,999999² + 5,999999² + 6² + 6² + 6,000000² = 180

g = (5,999999 + 6,000000) / 2 = 6,000000

30 = 6,000000 + 5,999999 + 6 + 6 + 6,000000

t = 6,000000² + 5,999999² + 6² + 6² + 6,000000² = 180

A négyzetösszeg csökkenése: 0

A új összegben a legnagyobb és legkisebb tag különbsége: 5,329070*10^-15

…

Látszik, hogy a négyzetösszeg konvergál a 180-hoz, a tagok meg szépen konvergálnak 6-hoz, ami 30/5.

A számtani és a négyzetes közép közti egyenlőtlenséget kell használni [link]

sum ai / n <= sqrt( sum ai^2 / n)

n = 2 most.

A baloldal fixen 15 minden felosztásra, a négyzetösszeg felének a gyöke meg akkor minimális (méghozzá 15), ha két ugyanakkora számra osztod fel.