Létezik a brachisztochron problémának analítikus megoldása abban az esetben, ha van súrlódás?

Mi lesz a funkcionál?

Miért ne tudnánk használni az Euler-Lagrange egyenletet?

Ez nem probléma. Ha az Euler-Lagrange-egyenletek származtatását ismered, akkor magasabbrendű deriváltakat tartalmazó Lagrange-függvény esetén is le tudod vezetni az Euler-Lagrange egyenleteket.

Nyílván csak a legegyszerűbb esetre ismered az egyenlet alakját.

A hagyományos Brachisztochron problémánál a

Lagrange-függvény alakja ugye:

L(xp,x)=gyök[(1+xp^2)/x]. (Itt xp= x pontot jelöl).

Ilyen esetre ugye az Euler-Lagrange egyenlet:

(d/dt)(dL/dxp)-dL/dx=0.

Na most te azt mondod, hogy ha van súrlódás, akkor

L=L(x,xp,xpp) alakú. (xpp itt x kétpont.)

Most megnéztem egy régebbi jegyzetemet, ilyen esetekre.

A Lagrange-függvény alakja legyen

L=L(x,xp,xpp,...,xn,t) (Itt xn az n-edik idő szerinti deriváltat jelenti.)

Három oldalas levezetés után az Euler-Lagrange egyenlet a következő alakú:

DL/Dq + szumma [(-1)^k*(d^k/dt^k)(DL/Dq^k), k=1,...,n]=0.

A jelölések:

D: parciális deriválás

(d^k/dt^k): idő szerinti k-adik derivált

Ezekből el tudsz indulni. Ha csak második deriváltak vannak, akkor neked nyílván az összegzésnél az n=2 eset kell.