Akkor is végtelen sok prímszám lenne, ha a Mersenne-prímeket nem vennénk közéjük?

Már az ókori görögök is tudták, hogy végtelen sok prímszám van.

Egy klasszikus bizonyítás Mersenne-prímek nélkül, de a számelmélet alaptételének felhasználásával:

Tegyük fel indirekt, hogy véges sok prímszám van! Szorozzuk össze őket, és adjunk hozzá egyet!

A kapott szám lehet prímszám, ami cáfolja, hogy ez az összes prím. Ha összetett, akkor a számelmélet alaptétele szerint lényegében egyértelmű prímtényezős felbontásában nem szerepelhetnek a felsorolt prímek, hiszen azokkal osztva egyet ad maradékul. Tehát vannak további prímek, ami ellentmond az alapfeltevésnek, hogy csak véges prímszám van.

Aki a 08:33-ast felpontozta az leírhatná miért tette. Nem a kérdésre válaszolt.

A 07:26 hozzászóló írta le a korrekt indokot a kérdésre, a miértjét.

Vagyis máshogy fogalmazva π(n) minden n-re n-ig a prímszámok száma. Például π(100) = 25 , mert 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 számok azok.

Legyen f(n) egy olyan függvény mely azt adja meg, hogy n-ig hány pozitív egész 2 hatványa van melynek értéke legfeljebb n. Például f(100) = 6 mert 2, 4, 8, 16, 32, 64 számok azok. Zárt alakba írva f(n) = egészrész(log2(n)) minden pozitív egész n-re igaz. Nagy n-ekre π(n) ~ n/ln(n) .

lim n → ∞ π(n)/(n/ln(n)) = 1

lim n → ∞ n/ln(n) - egészrész(log2(n)) → ∞ ezért

lim n → ∞ π(n) - f(n) → ∞

Mivel a minden pozitív egész 2 hatványa halmaz valódi részhalmaza a a Mersenne-prímek halmaza és beláttuk, hogyha az összes prímszámokból ha kivonjuk az összes pozitív egész 2 hatványa halmazt akkor is egy végtelen halmazt kapunk, akkor ebből következően triviális, hogy az ez eredeti kérdés szerinti halmaznak is végtelen sok eleme lesz.

4-es, miért is nem? ...

Egyébként meg teljesen mindegy, hogy egy precíz levezetést írok, vagy csak a lényeget, úgyhogy egyeteket kefét...

"4-es, miért is nem? ..."

Nem a 4-es vagyok, de válaszolok rá, hol a hiba az indoklásba. Special igaz a tény, de az indok az nem jó. Ha ez bármely x tulajdonsággal rendelkező az egész számok véges végtelen valódi részhalmazára rendelkező tulajdonság lenne ahol x tulajdonsággal véges vagy végtelen sok számra igaz lenne hogy 2^n tulajdonsággal rendelkezik véges vagy végtelen sok szám, ahol n szintén rendelkezik x tulajdonsággal akkor jobb lenne a helyzet, bár akkor meg ennek a tényét kéne belátni.

Úgy önmagába nem következik szükségszerűen. Vagyis általánosságba nem igaz, hogy létezik x tulajdonsággal rendelkező pozitív egész számok végtelen valódi részhalmaza. Melyek közül véges vagy végtelen sok 2^n alakú ahol n szintén rendelkezik x tulajdonsággal. Ha ebből véges sok van akkor biztos hogy igaz, azonban ha végtelen sok van, akkor vagy igaz vagy nem. Ha egy korlát felett minden x tulajdonsággal rendelkező dolog 2^n alakú ahol n szintén x tulajdonsággal rendelkezik akkor biztos hogy nem igaz.

"Egyébként meg teljesen mindegy, hogy egy precíz levezetést írok, vagy csak a lényeget, úgyhogy egyeteket kefét..."

A lényeghez hozzátartozna a prímszámok eloszlására vonatkozó n/ln(n) képlet is, de e helyett lehetne más , a prímszámok eloszlására , távolság tulajdonságára vonatkozó dolog is természetesen. Ekkor valóban az lett volna, hogy leírtad volna a lényeget (nem hiányosan, esetleg nem lenne precíz levezetés, de az más kérdés).

Megjegyzés (off topik):

"Aki a 08:33-ast felpontozta az leírhatná miért tette. Nem a kérdésre válaszolt."

Csak az utókornak írom aki majd a jövőbe fogja olvasni valamikor, az akkori válaszom időpontjában 100%-ra volt értékelve.

Szintén az utókornak, mivel igazából választ nem várok tőlük, majdnem az történet amire számítottam. Szóval ez részben érzelmi, részben értelmi és részben tévedésen / nem tévedésen alapul, hogy hogy nyomkodják a kezeket. Nagy mintán korreláció van a helyes válasz és a százalékok átlaga között.