Létezik olyan fraktál, aminek a dobozdimenziójában szereplő konvergencia létezik, de függ attól, hogy a rácsot, amit finomítunk, hogyan illesztjük a fraktálra?

Az általad leírt jelenség kapcsán a következő fraktálra és a rács finomítására utalhatsz:

Koch-görbe (Koch snowflake): Ez egy jól ismert fraktál, amelynek konvergencia dimenziója létezik, és függ attól, hogy a finomított rácsot hogyan illesztjük a fraktálra.

A Koch-görbe konstrukciója az alábbiak szerint történik: Kezdetben egy háromszög adott. Majd minden oldalának közepén egyenlő hosszúságú szakasz kerül beszúrásra, amelyből egy újabb kisebb háromszög alakul ki. Ezt a folyamatot ismételten elvégezzük az eredeti háromszög minden oldalával, így egyre részletesebb mintázatot kapunk.

A Koch-görbe konvergencia dimenziója 1,2618, ami különbözik a hagyományos 1D és 2D geometriák dimenziójától. Azonban ha a rácsot, amelyen a Koch-görbe felépül, úgy finomítjuk, hogy az illeszkedő rácsnégyzetek kerülete nem változik, akkor a konvergencia dimenzió 1 marad.

Ami a rácsnégyzetek kerületét illeti, ez attól függ, hogy melyik rácselemhez tartozik a fraktál pontja. Ha egy pont a rácsnégyzet kerületén van, akkor azt a kerületi hosszba is be kell számolni. Tehát, ha egy pont a rácsnégyzetnek csak a sarkához érintkezik, akkor azt egyszer kell beleszámolni. Ha viszont a pont a rácsnégyzet egyik oldalához érintkezik, akkor azt kétszer kell beleszámolni, mivel az a két szomszédos rácsnégyzet kerületének is része. Ez a számítás a fraktál dimenziójának meghatározásában fontos.