Ha x^2-nek van inverze, |x|-nek miért nincs?

Mert |x| nem egy-egyértelmű (e-e) leképezés, hanem több-egyértelmű (t-e). Tehát nem egyértelmű, hogy ha a végeredmény pl. 5, akkor -5 vagy +5 volt a paraméter.

És mint tudjuk, t-e inverze e-t, ami nem függvény.

Ahogy az első írta, úgy az x^2-nek sem kellene, hogy legyen inverze...

Az x^2 függvénynek is csak azért van inverze, mert megszorítottuk az értelmezési tartományát; ha egy függvénynek van olyan értéke, amelyhez legalább 2 x-et rendelünk, akkor annak nem lehet inverze, mivel a kapott hozzárendelésben x legalább 2 számhoz lenne hozzárendelve, ekkor pedig már nem beszélhetünk függvényről.

Az x^2 függvény inverzét úgy értelmezzük, hogy vesszük a függvénynek a [0;végtelen[ intervallumra szűkített értelmezési tartományát, és ha ezt invertáljuk, akkor kapjuk meg a gyök(x) függvényt. Persze megtehettük volna azt is, hogy a ]-végtelen;0] értelmezési tartományt választjuk, de ha egy számból gyököt vonunk, akkor nemnegatív eredményt szeretnénk kapni (ennek elsősorban geometriai okai vannak), ezért választottuk azt, amit választottunk.

"Bonyolultabb" függvényeknek is képesek vagyunk az inverzét venni, természetesen a megfelelő megszorítások mellett; tudjuk, hogy a sin(x) függvény végtelen sokszor felveszi -1-től 1-ig az összes számot, így nyilván nem tudjuk az inverzét venni, de mi szeretnénk néha-néha megtudni, hogy például melyik szög szinusza 1/2. Erre találták ki azt, hogy szűkítsük a függvény értelmezési tartományát [-pi/2 ; pi/2]-re, és legyen a sin(x) függvény inverze arcsin(x), aminek így a [-1;1] lesz az értelmezési tartománya, és a [-pi/2 ; pi/2] halmazhoz rendeli az x-eket.

Attól függően, hogy az |x|-nek hogyan választjuk meg az értelmezési tartományát, tudunk adni neki inverzfüggvényt;

-ha x>=0, akkor hogy-hogy nem, az x függvényt kapjuk

-ha pedig x<=0, akkor pedig a -x-et.

Gyakorlatilag pont ugyanezt az eljárást használjuk akkor, amikor abszolut értékes egyenleteket oldunk meg.