Le tudná nekem valaki írni szavakkal a Lagrange interpoláció megoldhatóságának bizonyítását?

Feladat:

Legyen n+1 darab x_i pontunk és f_i értékünk, olyan, max n-edfokú L polinomot keresünk, amelyre L(x_i) = f_i.

Megoldás menete:

1. Először alkotunk olyan maximum n-edfokú q_j polinomokat, amelyek minden x_i pontban 0-t vesznek fel, kivéve az x_j pontban, mert ott 1-et. (4.5, 4.6)

2. Ezeket a q_j polinomokat megszorozzuk f_j-vel: így olyan f_j*q_j polinomokat kapunk, amik minden x_i helyen 0-t vesznek fel, kivéve x_j-ben, mert ott f_j-t.

3. Ezeket összeadjuk, és az jó lesz:

L = sum f_j*q_j (4.7)

A feladat egyenleteit felírva (4.11) látható, hogy egy Vandermonde-mátrixú egyenletrendszert alkotnak. Ha az egyenletrendszer jobb oldalát nullákra cseréled, akkor a nullvektor révén van megoldás, méghozzá egyértelműen (polinom együtthatói egyértelműek), ezért az eredeti egyenletrendszernek is egyértelműen van megoldása (ha a mátrix nemszinguláris, akkor nyilván a jobboldal visszacserélésével sem lesz az).

Ha csak a megoldhatóság érdekel, akkor a Lagrange-alakot fel sem kell írni.