Ha Pinokkió azt mondja, hogy "most nőni fog az orrom" akkor mi történik?

> Ki a jó isten mondta, hogy a matematika világában létezik pinokkió

Létezik. Csak definiálni kell a tulajdonságait, és máris van egy matematikailag egzakt, absztrahált Pinókkiónk.

És mivel a matematikában a 2+2=4 állítás igazságértéke önmagában kiértékelhető, ezért mindenféle ellentmondás, paradoxon nélkül rövidre zárható a kérdés.

Összeomlik a tér-idő kontinuum, végtelen számú fekete lyuk keletkezik, pinokkio beleesik az egyikbe és elkárhozik. Ott aztán megtanulja hogy nem szabad hazudni.

De van még megoldás erre: Amikor Pinokkió, ez a degenerált idióta, azt mondja hogy most nőni fog az orra, akkor oda tart az orra elé egy disznóperzselőt. Ezáltal úgy tud hazudni, hogy mindkét feltétel teljesül, mert nő az orra, de mégse, mert nem lesz nagyobb.

Süsü, ez egy élmény volt.

Nem tudod esetleg, kihez fűződik ez a gordiuszi megoldás hogy legyen kizárva az önhivatkozás?

Egyébként szerintem az a nagyon fontos és szintén érdekes még ezzel kapcsolatban, hogy ez hívja fel a figyelmet pinokkió tulajdonságának a hiányos definíciójára.

Raymond Smullyanhez (hu.m.wikipedia.org/wiki/Raymond_Smullyan) fűződnek ezek az igazmondó lovag(krétai)/hazug lókötő gondolatkísérletek, azokkal is ez volt mindig a problémám.

Hogy ilyen paradoxon fennáll, az nem a kérdést, ill. arra adandó választ, hanem az állítást teszi kétségessé. Nem állíthatod valakiről pl. egyszerűen hogy nő az orra, ha ilyen állítást viszont képes feltenni. Ettől a képességétől viszont nem azzal fosztod meg, hogy azt mondod neki hogy ne tegye. Ettől még implicite képes marad rá.

A probléma egy számítógépnél is a definíciójával oldódik meg, hiszen egy számítógép csak lineárisan tudja végrehajtani a műveleteket. Ha rossz a parancs, akkor nem számít semmit. értelmezés nélkül elszállnak a bitek vagy mittudomén és kész.

De pinokkió, az emberek, és azthiszem mindenképpen a matematika is, nem ilyen. Tehát a "valakiről" egyszerűen Nem Állíthatjuk!, hogy csak hazudni tud, amíg nem definiáltuk ennek az axiómáit.

És a hazugság definíciójához szerintem hozzá tartozik, hogy csak a múltra vonatkozni.

Egy kicsit elvesztettem a fonalamat, de azthiszem a hazugság közhiedelmi definíciójával van baj, mint pinokkióéval.

Szóval igen, na:

a kérdés előfeltételezi, hogy a jövővel kapcsolatban lehetne igaz/hamis állítást megfogalmazni.

és ez az, na, ez a fontos! én úgy látom, a jövő a jelenben még "csak" egy eseményhorizont, tehát még rengeteg minden történhet attól függően, hogy hogyan alakítjuk. Ebben áll a felelősség, és ugyanígy ebben gyökereznek a vallásos hitek, stb.

Tehát nem akarom én elrontani a játékot (sőt ezzel szerintem alaposan megvédem a mesét), de Pinokkió ebben a pillanatban semmitmondó volt,mivel a jövőről beszélt. Ha a következő pilanatban hazudik, és megnő az orra, akkor igazat mondott, tehát akkor visszatekintve is jogosan nem nőtt meg az orra, de ha igazat mond, akkor is jogosan nem nőtt meg, mert csak visszatekintve lehet mondani róla hogy hazudott, amely visszatekinthetőség akkor még nem állt fenn.

Azt hiszem ez így egy teljes magyarázat lett, és csak a jövő természetéről, eldönthetőségéről lehetséges tovább vitatkozni, nem? mondjátok, kíváncsi vagyok.

bocs ha kicsit kusza lettem..

Egyszerű a válasz:

1. Pinokkió kimondja: "most nőni fog az orrom"

2. Kiderül, hogy hazudott

3. Megnő az orra(de nem akkor, amikor kimondta, hogy "MOST", hanem 1 másodperccel később, mikor befejezte a mondatot.

Tehát nincs benne paradoxon! :D

> A probléma egy számítógépnél is a definíciójával oldódik meg, hiszen egy számítógép csak lineárisan tudja végrehajtani a műveleteket.

Igen, a halmazelmélet végül ilyen irányban mozdult el. Egy mondat igazságértéke önmagában kell, hogy kiértékelhető legyen. Ha egy mondat egy másik mondatra utal, akkor a belső mondat igazságértéke eldönthető, így aztán !következő lépésben! a külsőé is. De ha egy mondat önmagának az igazságértékét veszi alapul, akkor önmagában nem eldönthető.

Egyébként valami ilyesmiről szól #18 hozzászólása is.

> Nem Állíthatjuk!, hogy csak hazudni tud, amíg nem definiáltuk ennek az axiómáit.

Igen, erre próbálunk kísérletet tenni, de elég fura dolgok jönnek ki belőle.

> És a hazugság definíciójához szerintem hozzá tartozik, hogy csak a múltra vonatkozni.

Igen, ez némileg felold néhány problémát. De megint kizárunk teljesen hétköznapi kijelentéseket, amelyek igazságértékét a hétköznapokban simán el tudunk dönteni. Pl. „két perc és ott leszek nálad”. Valahogy mégis meg tudod mondani, hogy ez nem igaz, hiszen azt sem tudom, hol laksz, és különben is x*100 km választ el minket egymástól.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Az is ugye feszegetett téma itt, hogy vajon ha valaki nem hazudik, abból következik-e, hogy igazat mond. Vagy van más lehetőség? Igazságértéke-e a mondatnak az, hogy „semmitmondó”, vagy az, hogy „paradoxon”?

Erre vegyünk egy gondolatkísérletet.

Van egy asztalunk. Vannak cetlijeink mindenféle kijelentésekkel. Az asztalt felosztjuk részekre, a lehetséges igazságértékek alapján. Mondjuk elsőre két részre. Bal oldalra kerülnek az igaz mondatok, jobb oldalra a hamis mondatok. Fogjuk a cetliket, elkezdjük pakolgatni az asztalra. Jön az a cetli, hogy „ez a cetli jobb oldalra fog kerülni”. Le tudjuk tenni? Ha bal oldalra tesszük le ideiglenesen, akkor azt látjuk, hogy rossz helyen van, hiszen bal oldalon az igaz mondatok vannak, ez meg hamis. Ha ideiglenesen jobb oldalra tesszük, akkor meg megint rossz helyen van, hiszen oda a hamis mondatok kerülnek, míg a mondat igaz.

Oké. Nem jó ez a kettéosztás. Mégsem szorongathatjuk azt a cetlit az idők végezetéig, valamit csinálni kell vele (ki kell értékelni az igazságértékét). Ez egy paradoxon ugye. Akkor meg is van a megoldás: Osszuk háromfelé az asztalt. Bal oldalra kerüljenek az igaz mondatok, középre a paradoxonok, jobb oldalra a hamis mondatok.

Ez már egy kicsit ellentmond a józan észnek. Most valami vagy igaz, vagy nem igaz. Ahogy valami vagy kisebb valaminél, vagy nem. Nincs olyan, hogy nem is kisebb, meg kisebb is, meg nincs olyan, hogy nem kisebb, és „nem (nem kisebb)”. A kisebb és a nagyobb között feszülhet egy rejtett harmadik lehetőség (egyenlő), de pont ezért használtam a „nem kisebb” kifejezést, ami bármilyen más, a „kisebb” ítélettől eltérő lehetőséget lefed. Olyan ez, hogy nem lehetsz úgy bent valahol, hogy közben nem vagy bent. A kettő kölcsönösen kizárja egymást.

De lépjünk túl ezen, és osszuk fel a fenti módon három felé az asztalt. Megint jön a cetlink: „ez a cetli a jobb oldalra fog kerülni”.

1. Ha letesszük bal oldalra, akkor egyértelműen hamis lesz a mondat, tehát a jobb oldalra kell kerülnie.

2. Ha letesszük jobb oldalra, akkor egyértelműen igaz lesz a mondat, tehát a bal oldalra kell kerülnie.

3. Most jön a csavar: Ha letesszük kizárásos alapon középre, akkor egyértelműen hamis lesz a mondat, tehát a jobb oldalra kell kerülnie.

Tehát így sem lesz jó helyen, akárhova is tesszük. Oda-odapróbálhatjuk az asztal különböző helyeire, de nem tudjuk ott hagyni, hogy „na most jó helyre került”. Akárhány részre osztom azt az asztalt, két eset lehetséges:

- A jobb oldalon van, és akkor igaz lesz a mondat, tehát bal oldalra kell kerülnie.

- Nem a jobb oldalon van, ekkor viszont egyértelműen hamissá válik a mondat, tehát a jobb oldalra kell kerülnie.

A paradoxon, illetve a „semmitmondás”, nem a mondat igazságértéke. Az adott mondatnak !nincs! igazságértéke.

A naiv hozzáállás ugye az, hogy hát a mondatok mindegyikéről el lehet mondani, hogy igazak, vagy hamisak. Lehet, hogy most még nem tudjuk eldönteni, de ettől függetlenül van ilyen tulajdonságuk és az értelmezhető. Kicsit olyan ez, mint a szín. A tárgyaknak van színe. Olyan nincs, hogy van egy tárgyam, aminek nincs színe. Maximum olyan van, hogy tarka, vagy változtatja a színét, de színe akkor is van.

Persze vannak olyan tulajdonságok, amelyekkel nem rendelkezik az életünk minden entitása. Bach D moll toccata és fúgájának pl. nincs színe. Na jó, de az egészen jól megkülönböztethető mondjuk egy almától. Az almák jól ismert ismérvek alapján különböznek a zenétől, logikailag összetartóz dolgok halmaza, viszont az almák mindegyikének van színe.

A mondatokat valahogy szintén egy ilyen jól megkülönböztethető, és azonos jellegű dolognak vesszük, amiknek van igazságértékük. Úgy tűnik, hogy nem így van. Van ilyen jellegű és olyan jellegű mondat. Az, hogy melyik mondat tartozik azon halmazba, amelyeknek van igazságérték tulajdonságuk, és melyik tartozik azon halmazba, amelyeknek nincs igazságértékük, az nem annyira kézenfekvő dolog, nem annyira intuitíve következik a mondat ilyen-olyan tulajdonságaiból. Ez meglepő és váratlan fordulata a matematikának.

Talán azért vesszük természetesnek, hogy a mondatok igazak vagy hamisak, mert úgy általában a legtöbb mondat ilyen, amivel találkozunk. Azért nem akadunk ki egy „ez a mondatom hazugság” jellegű kijelentésre, mert amúgy meg megszoktuk, hogy mi magunk nem tudjuk eldönteni feltétlenül az igazságértékét a mondatnak. „Uganda fővárosa Kampala”. Hát mit tudom én. Lehet. Lehet, hogy nem. Majd ha fontos lesz utánanézek. Valahogy így állunk az ilyen paradoxonokkal is. A hétköznapi életben ha beszédben jelennek meg, akkor könnyen átsiklunk felette azzal, hogy most még fogalmam sincs, hogy igaz-e, de majd ha fontos lesz, meg lesz hozzá kedvem, akkor végiggondolom.

Egyébként lehet fokozni a dolgot.

Pl. az is valahol triviálisnak, magától érthetődőnek tűnik, hogy ami igaz, arról előbb-utóbb ki lehet deríteni ezt, tehát bizonyítható.

Tegyük fel a következő mondatot:

„Ez az állítás igaz, de nem bizonyítható”

Ha igaz, akkor nem bizonyítható.

Ha nem igaz, akkor több módon lehet nem igaz:

- Az állítás hamis, de bizonyítható.

- Az állítás hamis, és nem bizonyítható.

Oké, ez így jó játék, de sokkal komolyabb munkával matematikai nyelven is megfogalmazható. Ezt tette meg Gödel, aki az első tételében azt bizonyította, hogy ha egy adott axiómarendszerben minden állítás bizonyítható, akkor ellentmondásokat tartalmaz. Ha ellentmondásmentes, akkor létezik olyan állítás, ami bár egyértelműen igaz, vagy hamis, mégsem lehet ezt bizonyítani.

Jaj. Van egy raklap matematikai probléma. És jön Gödel és azt mondja, hogy lehet, hogy nem azért nem találtuk meg még rá a megoldást, a bizonyítást, mert nem gondoltunk át még mindent, hanem lehet, hogy nincs is bizonyítása az adott sejtésnek.

Pl. vannak a tökéletes számok. Ezek olyanok, amelynek az összes osztóját – önmagán kívül – összeadva magát a számot kapjuk vissza. Pl. a 6 osztható 1-el, 2-vel, 3-al, és 1+2+3=6. Vagy a 28 osztható 1-el, 2-vel, 4-gyel, 7-el, 14-el, és 1+2+4+7+14 = 28.

Máig megoldatlan kérdés, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok. Lehet, hogy nem is érdemes időt pazarolni rá, mert nem bizonyítható az az állítás – hogy léteznek páratlan tökéletes számok–, holott lehet, hogy vannak, csak éppenséggel nem bizonyítható a létük?

Oké. Semmi gond. Az ötlet az, hogy valahogy majd kiszűrjük ezeket a kérdéseket, és akkor tudjuk, hogy ezzel a problémával nem érdemes foglalkozni, mert ez egy gödeli kérdés. Csakhogy ez rekurzív módon is probléma. Lehet, hogy vannak olyan kérdések, amelyekről egyértelműen igaz, hogy gödeli kérdések, de ez mégsem bizonyítható be róluk. Ó, jaj…

Semmi gond, akkor nem tudjuk az összes igaz állítást bizonyítani. Na bumm. Így is van nagyon sok dolog, amit tudunk még bizonyítani, egyre újabb és újabb eredményeket érünk el. Maximum lesz egy raklap meg nem válaszolt kérdés, meg egy raklap elvesztegetett élet, ami ezek megválaszolására áldozódott fel. A lényeg, hogy kerüljük az ellentmondást. Ha van egy ellentmondás, akkor abból bármi és bárminek az ellenkezője levezethető. Szóval elég, ha csak ragaszkodunk az ellentmondásmentességhez, és akkor nincs gond, max. pár dolgot nem tudunk bizonyítani.

Na ekkor tette be a kaput Gödel második tétele, mely szerint egy „valamirevaló” axiómarendszerben bizonyíthatatlan, hogy az adott rendszer ellentmondásmentes-e, vagy sem.

Persze azért a matematika felébredt ebből a sokkból, elvégre mégis sikeresen alkalmazzuk azt mondjuk a fizikában, ahol meg az a visszajelzésünk, hogy működik a dolog. Szóval továbbra is érdemes és kell matematikával foglalkozni, csak kicsit már jobban tudjuk, hogy valójában egy mocsárban rohangálunk bekötött szemmel, hátrakötött kézzel.