Ha Pinokkió azt mondja, hogy "most nőni fog az orrom" akkor mi történik?

'sszus elírtam: a ponton keresztül húzott párhuzamos integrálja ugyanannyi, mint a ponton keresztül húzott PARABOLA integrálja.

... ez elég lényeges hiba :D.

jaj és párhuzamosan a jövő-hazudásról is szeretnék még itt tovább beszélni:

>> Igen, ez némileg felold néhány problémát. De megint kizárunk teljesen hétköznapi kijelentéseket, amelyek igazságértékét a hétköznapokban simán el tudunk dönteni. Pl. „két perc és ott leszek nálad”. Valahogy mégis meg tudod mondani, hogy ez nem igaz, hiszen azt sem tudom, hol laksz, és különben is x*100 km választ el minket egymástól.

Szerintem amit az igazságrétékről mondtam (hogy csak a múltra tud vonatkozni mert a jövőre vonatkozó állítások csak visszafelé lesznek igazolhatók) a hétköznapi állításokra is igaz.

Amit mondasz, az igazságértékét tekintve "hazugság" Lesz, ha két perc múlva nem jelensz meg (nem tette, ha valaki kíváncsi volna :D). A jelenben viszont ez csak a szándékodat érzékeltette egy aránytalan, de a szándékoddal arányos csúsztatással. Ha eszed ágában sem volt jönni, akkor már a jelenben is hazudtál, nem csak visszatekintve. Ha viszont szándékodban állt jönni, akkor igazat mondtál, és formálisan vállaltad hogy mindent latba vetsz hogy teljesítsd az ígéretedet, két perc múlva viszont visszatekintve hazugságnak fog bizonyulni mivel (az előre pontatlanul/tekintet nélkül felmért adottságoknak megfelelően) ez nem sikerült.

Ezek szerintem klassz dolgok, és az embereknek a mesékből vagy a fantáziájukból vett öröksége lehet, hogy ilyen varázsvilágok szerint tudunk és akarunk sok esetben beszélni.

Egyébként ebben a megvilágításban ez is egy Zénón-paradoxonnak tűnik :D

Kimondod, igazat mondasz, majd amikor közeledik a két perc, egyre kevésbé tűnik valószínűnek az állítás, de gyakorlatilag soha nem lesz hazugság, mert mindig eltelhet még fele ideje a hátralévőnek, ami alatt történhet csoda. :D És soha nem érkezel el a hazugság állapotába, ahogy akhilleusz sem előzi meg a teknőst. :D jó lehet kicsit gyenge párhuzam, de ilyen hazugság-differenciálszámításos feladatot el lehet képzelni belőle :P

> Nagyon tetszik a felvetés, főleg hogy mástól még aligha hallottam erre vonatkozó konkrét gondolatokat.

Amúgy én sem nagyon láttam ezt máshol leírva, ez inkább saját gondolat, vagy inkább ötlet. Nem biztos, hogy tényleg itt csúszik el, de itt biztos van egy logikátlanság az oktatásban.

> nem is tudom mikor tanítják a szorzótáblát […] Nagyon nehezen tanultam meg, én sem tudtam miért.

Amúgy én sem voltam máshogy ezzel. A szorzótáblát valóban csak be lehet magolni. Igen, vissza lehet vezetni összegzésekre, de pont azért kell bemagolni, hogy ezt ne kelljen megtenni, mert az jóval lassabb. Nálam egyébként az van, hogy vannak mind a mai napig olyan elemei a szorzótáblának, ami nem rögzült. Pl. mindig keverem, hogy mennyi 6*7 és 7*8. Itt mindig vissza kell vezetnek arra, hogy 6*7 = 5*7 + 7 = 35+7 = 42, és 7*8 = 6*8 + 8 = 48+8 = 56. Valahogy nem akar rögzülni bennem automatikusan, de kellő rutinom van, hogy ez különösképpen ne lassítson le.

Én harmadik félévkor „buktam” matekból, pontosabban 1-es félévi értesítőt kaptam. Emlékszem arra a pillanatra, mikor az egész matematika valahogy a helyére zökkent a fejemben, méghozzá egy dolgozat írása során. Volt egy ilyen sorozat, hogy 11, 8, 5, 2, -1, és fel kellett írni a szabályt és a folytatását. Akkor valami felfénylett a kis agyamban, és leírtam ilyen szabályt: +(-3), -(+3), +(-3), -(+3). Azért írtam ilyen bonyolultan, mert tetszett, hogy ilyen érdekesen tudom leírni. A tanár elsőnek el sem akarta fogadni, de dolgozatkiosztás után reklamáltam, megnézte újra, és látta, hogy tulajdonképpen jó.

Valahol itt ugrott be nekem, hogy ez az egész matematika tulajdonképpen érthető, szól valamiről, rá lehet jönni benne dolgokra. Harmadik osztály félévkor ugye 1-est kaptam, év végén dicsérettel lettem ötös. Azóta nem tanultam matematikát egészen a főiskoláig, hanem órán megértettem. Egyedül talán a másodfokú egyenlet megoldóképletét kellett kicsit begyakorolnom, minden más logikusnak tűnt órán, így még ott megjegyeztem.

> A paralelogramma területe=a*b*sinβ.

> Következésképpen 2*2 egyáltalán nem feltétlenül 4. és a szorzás művelete nem egyértelműen sokszorosítást jelent.

Itt egy kicsit összemosódott talán nálad a terület és a szorzás képe. A szorzás ténylegesen sokszorosítást jelent. Ha van egy egységterületed, amit ösztönszerűen egy egység*négyzet* szokott lenni, akkor a téglalap területénél valóban ezen egységnégyzet sokszorosításával jön létre a téglalapod, alkalmasint sorokba és oszlopokba rendezett egységnégyzetekről van szó, így összegekről, az összegekből képezhető szorzásról van szó. Lásd: [link]

A paralelogramma viszont nem rakható ki ilyen egységnégyzetekből. Ott vágni, kell, áthelyezgetni. De fordítsuk meg a dolgot, fogjuk a mi kis egységnégyzetünket, toljuk el a sorokat egymáson, és nézzük mi történik. Valami ilyesmi: [link]

Mi ezzel a gond? Az, hogy az így kapott 3*4 egységnyi területű paralelogrammának nem 3 egység az oldalhossza, hanem 3*√2 egység. Itt valójában az a gond, hogy a paralelogrammát nem a szorzás szempontjából releváns két mennyiséggel írtuk le. Ha a paralelogrammának az a oldalát és az ehhez az oldalhoz tartozó magasságát írjuk le, akkor a terület mindjárt sima szorzássá válik: T = a*m.

Vagy mondjuk úgy, hogy van egy vízszintes és egy függőleges dimenziónk, illetve van két dimenziót meghatározó vektorunk. A gond az, hogy a paralelogramma esetén a b oldalt nem egyetlen dimenzióvektor határozza meg tisztán, hanem a választott két dimenzióvektorunkból mindkettőre szükségünk van ahhoz, hogy a b oldal méréséhez szükséges vektort előállítsuk.

Ha történetesen olyan vektorokat használnánk, amelyek esetén a paralelogrammánk egy-egy oldala tisztán leírható lenne az egyik illetve másik dimenziót meghatározó vektorunkkal, és ezen két vektor alapján határoznánk meg az egységterületünket, amihez képest a paralelogrammánkat mérnénk, akkor mindjárt megkapnánk azt, hogy a paralelogramma területe szintén szimpla sokszorosítást jelentene. Lásd: [link]

Itt mindjárt az van, hogy valóban az egységterületünk sokszorosítása az a bizonyos paralelogramma, így a területe: T = a*b, hiszen az a oldal is, a b oldalt is egymástól független dimenzióvektorok írják le.

Itt viszont az a gond, hogy ez az egységterület nem azonos a derékszögű koordináta rendszer egységterületével. A derékszögű koordináta-rendszer egységterületére való átváltáshoz van szükség arra a bizonyos sinα-ra.

Mint látható nem a koordináta rendszer derékszögűsége adja a problémát, hanem:

- részben az, hogy az adott síkidomot nem a megfelelő mennyiségekkel reprezentáljuk,

- részben az, hogy tulajdonképpen vissza akarjuk az egészet váltani a derékszögű koordináta-rendszer egységterületére.

Bármelyik problémaforrás megszüntetése tisztázza a kérdést. Ha nem a b oldallal, hanem a magassággal határozod meg a paralelogrammát, máris értelmezhető a sokszorozás a két megadott mennyiség alapján. Ez olyan, hogy ha a téglalapot mondjuk az oldalával és az átlójával írjuk le, akkor megint nem sima szorzás lesz az eredmény, mert _ténylegesen_ nem ezek a mennyiségek határozzák meg az egységterület sokszorosításának mikéntjét. Meg lehet persze így is adni, mondjuk leírjuk a téglalapot „a” és „e” mennyiségekkel, ahol e az átló, csak akkor a terület ez lesz: T = a * √(e²-a²). Miért? Mert a két mennyiségből az egyik nem írható le kizárólag az egyik dimenzióvektor segítségével, hanem „kevert” mennyiség.

Illetve ha nem akarod visszaváltani az eredményt a derékszögű koordináta-rendszer egységterületére, akkor megint mondhatod azt, hogy T = a*b, csak itt a mértékegység a paralelogramma egységterülete lesz. Szóval oké, rugaszkodjunk el a derékszögű koordináta-rendszertől, de akkor ne akarjunk rá a végén visszatérni.

Vagy ott a kör területe. Lehet olyan képletet felírni, ahol a terület egy sima szorzássá válik. T = n*d, ahol d a kör átmérője, az n meg a körnegyed kerülete. Hogy miért pont ezek a szorzás művelete – azaz az egységterület sokszorosítása – szempontjából releváns adatok, azt már jóval nehezebb belátni. Itt inkább azt mondjuk, hogy a π egy „tapasztalati” érték, ami egyaránt meghatározza a kör kerülete és átmérője közötti arányt, illetve a kör területe és a sugár oldalhosszúságú négyzet területe közötti arányt. Annak a belátása, hogy ez a két érték azonos már jóval mélyebb szintű matematikai ismereteket igényel, nota bene lehet én sem vállalkoznék ennek a bizonyítására.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Egyébként ez a dimenzió kérdés is érdekes. Valóban túlságosan hozzászoktunk a derékszögű koordináta-rendszerben történő leíráshoz, így azért tartjuk mondjuk az adott alakzatot 2 dimenziósnak, mert az egyes pontjait az adott két egységvektorral le lehet írni. De le lehet máshogy is írni. Például ha azt mondom, hogy Budapesttől észak-északkeletre 8 km-re, akkor már egy polárkoordináta-rendszert használok.

A gondot az jelenti, ha meg kell érteni, hogy mondjuk egy arkhimédészi spirál egy dimenziós alakzat. Miért is? Hiszen nem egy vonalon van, síkban lehet felrajzolni. De ha megértjük, hogy a spirál egy adott pontjának meghatározásához elegendő egyetlen mennyiséget megadni, és ez egyértelműen azonosítja az adott pontot, akkor már érthetővé válik a dolog. Ugyanúgy egy görbe felület esetén nehéz megérteni, hogy az a domborzat két dimenziós, hiszen vannak magasságok. De a felületen bármelyik pont meghatározható két paraméterrel, és minimum ennyi kell. Ha van egy harmadik paraméter, az már függeni fog a másik kettőtől.

Oké, általános iskolában ezt nem lehet megtanítani, mert túl komplikált lenne. Olyan lenne, mintha az ötödikes fizikában rögtön a relativisztikus mechanikát kezdenék el tanítani. Senki nem értene egy kukkot sem belőle. Ilyen szempontból jó, hogy a fizika felfedezéseinek sorrendjében hozzuk be az ismereteket. Kell egy alap, amit megértesz, hogy aztán meg tudd érteni azt a következő eredményt, ami fényében felül tudod vizsgálni, és át tudod értelmezni az eddigi tudásodat.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Koszinusz-tétel egy kicsit más tészta. De összességében itt is arról van szó, hogy a területek, oldalhosszok kiszámolásához nem azokat a mennyiségeket használjuk, ami a tényleges egységterület sokszorosításának műveletéből következnek.

Nem a szorzással van a gond, hanem azzal, hogy nem a szorzás műveletéhez szükséges egységeket adjuk meg, mert más okok miatt nem azok a mérvadóak, nehezebben mérhetőek, kevésbé ösztönszerűek.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

> Szeretném kiegészíteni, hogy euklidész 'csak egy párhuzamos húzható' axiómáját én úgy tudom egyenesen cáfolták (ez Bolyai és Lobacsevszkij hiperbolikus geometriája)

Pont ez az, hogy nem cáfolták. Felállítottak egy teljesen új geometriát, amiben az adott axiómát helyettesítették annak ellentétével. Kaptak egy teljesen új geometriát, ami egészen máshogy működik. De ettől még az euklideszi geometria igaz maradt, !ha! az euklideszi axiómát vesszük alapul. Az nem volt eldönthető pusztán matematikai szemmel nézve, hogy az axióma igaz-e, vagy sem. Bolyai és Lobacsevszkij csak azt mondta ki, hogy nem vezet ellentmondásra az sem, ha az euklideszi axiómával ellentétes axiómát vezetjük be.

Mindkettő egy kerek matematikai rendszer. Hogy történetesen mit tudunk mondani a kérdéses axiómáról? Azt, hogy ez igazából fizikai kérdés. Nézzük meg, mérjük meg, hogy a világ hogy működik, lehet-e egy ponton keresztül több párhuzamost is húzni. A fizikai tér az Euklidesz, a Bolyai és Lobacsevszkij, vagy éppen a Minkowski által leírt geometria szabályai szerint működik-e.

folyt. köv…

Zénon paradoxonát már a korában sem vették túl komolyan. Elvégre mégis azt látjuk, hogy Akhilleusz végül nem hogy utóléri azt a bizonyos teknőst, de le is előzi, méghozzá véges idő alatt. De valahogy mindezt meg kell fogalmazni a matematika nyelvén is. Mi azt szoktuk meg a mi világunkban, hogy ha valamihez mindig hozzáadsz valamennyit, akkor az csak nő és nő és nő, és valahol az a naiv, intuitív érzetünk, hogy akkor ez az egész a végtelenségig nő.

Persze második blikkre rá lehet mutatni, hogy ez az ösztönszerű érzetünk nem igaz. Fogj egy tortát, felezd meg, az egyik felét felezd el, az egyik kapott negyedet felezd el, stb… Kapsz egy végtelen tagszámú összeget, aminél az összeg maga mégis véges marad.

Akhilleusz részben ezért is tudja megelőzni a teknőst. Részben azért is, mert egyre kisebb és kisebb időegységek alatt teszi meg azokat az egyre kisebb és kisebb távolságokat. Itt megint az van, hogy van egy végtelen tagszámú összeged, aminek az eredménye mégis véges lesz.

Ez az, ahova úgy el lehet jutni komolyabb matematikai tudás nélkül. Leibniz – illetve Newton – ott ért el igazán átütő eredményt, hogy meg tudta határozni, hogy az ilyen végtelen összegekkel hogyan is kell számolni, pl. Akhilleuszunk végtelen összegű távolságmegtételének és végtelen összegű idejének arányával hogy tudunk számolni, mondjuk hogy tudjuk kiszámolni, hogy ha adott idő alatt kell megelőznie a teknőst és adott a távolságuk, akkor mekkora sebességgel kell futnia.

Persze Zénon paradoxonában ez relatíve egyszerű, hiszen egy véges formájú összefüggés elemeiből kreáltunk egy végtelen összeget. De nem csak ilyen problémák léteznek, hanem olyanok, ahol intuitív módon nem tudjuk véges mennyiségekre visszavezetni azt a bizonyos végtelen összegeket. Mondjuk ha Akhileusz sebességét mondjuk egy sin(t) függvény írja le, akkor mekkora utat fog megtenni adott idő alatt? Hát itt lehet darabolgatni az időt, és közelíteni az így kapott összegeket a valós távolság felé, de mennyi végül az egzakt távolság? Na ennek a kiszámítására adott végül módszereket az integrálszámítás.

Egyébként pont itt jön be a deriválásba a Zénon-paradoxon. Oké, vagy egy – nem feltétlenül egyenletesen – gyorsuló mozgásunk. Ismerjük a távolságot, amit megtett már az illető egy adott időpillanatban. Ezeket a méréseket szépen fel tudjuk vinni egy grafikonra, ezekre szépen tudunk húzni egy görbét, ha szerencsénk van, akkor ez a görbe leírható matematikai összefüggésekkel, tehát van egy s = f(t) függvényünk. No de mekkora a sebesség egy adott időpillanatban? Semmi gond, nézzük meg, mi a sebesség képlete: v = Δs/Δt. A Δt-vel nincs gond, az idő egyenletesen telik. No akkor nézzük meg, hogy az adott pillanattól egy másodperc múlva mekkora a megtett út, mennyivel nőtt. Máris ki tudjuk számolni a sebességet. Illetve nem, hiszen a sebesség időközben változott, tehát nem fogunk pontos értéket kapni. Semmi gond, csökkentsük az időablakot, nézzük meg, hogy egy tizedmásodperc alatt mennyivel változik a megtett út. Kapunk egy pontosabb értéket, de ez sem lesz pontos, hiszen ezalatt is változott a sebesség, tehát nem a pillanatnyi sebességet számoltuk ki t[1] időpillanatban, hanem a t[2] és t[1] időpillanat közötti átlagsebességet.

Az időablak csökkentésével lehet pontosítani a sebességet, de mindig pontatlan marad. Pontos akkor lesz, ha az időablak, a Δt éppen nulla, hiszen egy adott pillanatban akarjuk tudni a sebességet. A gond az, hogy ebben az esetben a Δs = 0, a Δt = 0, így a sebesség: v= Δs/Δt = 0/0, márpedig a nullával osztás az álmoskönyv alapján nem jelent túl sok jót. Tehát itt kapcsolódik valamennyire össze a deriválással Zénon paradoxonja. Van analógia a két problémakör között. Szerencsére van határérték számítás, így ki tudjuk számolni határértékként az adott időpillanatban a sebességet. Viszont ugye akkor ennek a sebességnek is lesz az idő függvényében egy képe. Na ezt a függvényt határozza meg ugye a deriválás.

A deriválás esetén gyakorlatilag az adott függvény meredekségét írjuk le, márpedig a meredekség kifejezésére egy egyszerű osztást tudunk alkalmazni, ahol a lejtő magasságát és a lejtő hosszát osztjuk egymással, a kettő hányadosa meg jól szemléleti a lejtő meredekségét.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Amúgy főiskolán nekem is ez volt a gondom. Deriválni hó't egyszerű dolog. Érhető, logikus, még az összetett függvények, második deriváltak is átláthatóak. Van egy logikusnak tűnő szabályrendszere, mondjuk, hogy miért 3x² az x³ deriváltja.

Az integrálásnál viszont nem ennyire triviálisak a képletek, vagy legalábbis számomra nem voltak azok. Pl. nekem kevésbé plauzibilis az, hogy: ∫ 1/(1+x²) dx = arctg(x) + C. Ezeket nekem is be kellett magolni. Mondjuk látom azt is, hogy nincs idő a megfelelő levezetéseket felírni, mert néha egy-egy képlethez mondjuk tartozik egy több oldalas bonyolult bizonyítás.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Rákérdeztél a deriválás és az osztás kapcsolatára. Hát ez elég nehéz lesz. Kétségtelen, hogy absztrahálni kell a matematikát ahhoz, hogy tovább tudjunk lépni benne a torták felszeletelésétől, mondjuk a deriválásig. De a lényeg, hogy minden új ismeret belátható, megérthető, valóságra visszavetíthető, és ha ezt már mélyen megértettük, triviálisnak tartjuk, akkor lehet absztrahálni a műveletet, és további összefüggések felé továbblépni.

Egyébként alapvetően bennfoglalásról van szó. A függvény meredekségének kiszámolásához az y irányú és az x irányú változás hányadosát kell kiszámolni, itt pedig arról van szó, hogy az y hosszúságú változást leíró távolságmennyiségben hányszor van meg az x irányú távolság. Az absztrakció ott történik meg, hogy belátjuk, hogy ez az arány megegyezik azzal, hogy az y távolságban hányszor van meg az egységhosszúság, illetve az x távolságban hányszor van meg az egységhosszúság, és a kettő aránya meg fogja adni, hogy y távolságban hányszor van meg az x távolság. Szóval alapvetően itt is az a kérdés, hogy „hányszor van meg benne”.