Ha Pinokkió azt mondja, hogy "most nőni fog az orrom" akkor mi történik?

"Az axióma olyan kiindulási feltételt jelent (például a filozófia ágaiban, vagy a matematikában), amit adottnak veszünk az érvelések során. Az axióma különféle okok miatt nem megkérdőjelezhető, megállapított alaptény, alapigazság."

Wikipédia.

Igen, nekem is nagyon tetszik a vita. A kérdező nyilván nem is gondolta, hogy a "humor" témában feltett kérdése ilyen érdekes fordulatot fog venni!

Axióma az, amit igaznak tartunk, amit nem kérdőjelezünk meg. Ugye bizonyítani, levezetni valamit csak már meglévő, bizonyított dolgokból lehet. Valahol el kell kezdeni, kell pár olyan állítás, amit nem azért tartunk igaznak, mert bebizonyítottunk, hanem önmaguktól igazak.

Pl. a természetes számok – jelen értelmezésben itt a 0 is természetes szám – axiómarendszerét sokféleképpen lehet definiálni. Például:

- Minden számnak van rákövetkező eleme. (Mondjuk a 2-nek a 3.)

- Nincs olyan szám, aminek a rákövetkező eleme 0 lenne.

- Ha két szám rákövetkezője azonos, akkor maga a két szám is azonos. (Ha x# = y#, akkor x=y) (Itt # jellel jelöltük a rákövetkezés műveletét, azaz x rákövetkező eleme x#, azaz 2# = 3, 10# = 11, stb…)

- A nullával jobbról végzett összeadás hatástalan. (x+0 = x)

- A nullával jobbról végzett szorzás nullát ad eredményül (x*0=0)

- Egy számnak és egy másik számnak a rákövetkezője megegyezik a két szám összegének rákövetkezőjével: x + (y#) = (x+y)#

Meg még van 2-3 ilyen.

Ezekből aztán minden összefüggés levezethető, pl. hogy az összeadás kommutatív művelet: x+y = y+x, vagy hogy a*(b+c) = a*b + a*c, stb., stb…De ezek már mind bizonyíthatóak, levezethetőek a fenti axiómarendszerből.

Amúgy Gödel nemteljességi tételei nem minden axiómarendszerre vonatkoznak. Megvan a maguk érvényességi köre. Csak az a gond, hogy a fenti axiómákból elég néhány, és már igazak. Tehát elvileg lehet olyan axiómarendszert kreálni, ahol Gödel bizonyítása nem állja meg a helyét, csakhogy minden olyan axiómarendszerre igazak, amit használni szoktunk. A természetes számok axiómarendszerében mindenképpen igazak, márpedig a természetes számok, és azok műveletei általában minden matematikai aparátusban használatosak. Ezért fogalmaztam úgy, hogy minden „valamirevaló” axiómarendszerben…

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Vagy a geometriának is megvannak ezek az axiómái. Eukleidész így fogalmazta meg ezeket:

- Ugyanazon dologgal egyenlő dolgok egymással is egyenlők. (Pl. ha a=b és a=c, akkor b=c)

- Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor egyenlőket kapunk. (Pl.: ha a=b és x=y, akkor a+x = b+y)

…

- Egymásra illeszthető dolgok egymással egyenlők.

- Az egész nagyobb, mint a része.

- Két egyenes nem fog közre területet.

Meg leírt öt posztulátumot (követelményt), amit ma ugyanúgy axiómaként kezelünk:

- Minden pontból minden ponthoz húzható egy egyenes.

- Az egyenes szakasz végtelenül meghosszabbítható.

- Minden pontból – mint középpont – tetszőleges sugarú kör rajzolható.

- A derékszögek egyenlőek.

- Ha két egyenest egy harmadik metsz, akkor az a két egyenes azon az oldalon metszi egymást, ahol ezen harmadik egyenes által meghatározott belső szögek összege két derékszögnél kisebb.

Ez az utolsó mondat kissé bonyolultnak tűnik. Valahogy olyan bizonyításra szoruló axiómáról van szó, kevésbé magától érthetődő, mint az első négy.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Itt jön a matematika történetének egy csavarja. Próbálták valahogy levezetni ezt az utolsó axiómát a többiből. Nem nagyon jártak sikerrel. Próbálták helyettesíteni más axiómával, vagy axiómákkal. Az eredmény nem volt túl meggyőző, ezek sem lettek sokkal triviálisabb axiómák, mint amit Eukleidész leírt. Pl. egy ponton keresztül egy egyeneshez csak egy párhuzamos húzható.

Aztán megpróbáltak fordítva felülni a lóra. Tegyük fel az axióma ellentétét, kreáljunk belőle egy geometriát, és ha ellentmondásra jutunk, akkor ezzel bizonyítottuk, hogy az axióma ellentéte nem lehet igaz, azaz az axióma ilyen módon bizonyítva lett.

Meg is tették. Csak az a gond, hogy nem jutottak ellentmondásra. Ha feltételezem a könnyebben érhető axióma ellentétét, mely szerint egy ponton keresztül több párhuzamos is rajzolható egy adott egyeneshez, akkor nem jutok ellentmondásra. Kapok egy egészen más geometriát, teljesen más szabályokkal, törvényszerűségekkel, levezetéssel, de nem jutunk ellentmondásra. Ez a fajta új geometria pontosan ugyanolyan jó, mint az euklideszi geometria.

Oké, oké. Van két geometrián – amiből aztán egyébként még többféle lett –, majd a fizikai vizsgálódások eldöntik, hogy melyekkel írható le a világunk. A másik geometriák is ettől függetlenül létező geometriák, csak éppen nem a mi világunkat írják le. Ugye úgy tartották, hogy a világot az euklideszi geometria írja le, a többi meg csak valami matematikai érdekesség, aminek semmiféle különösebb haszna nincs. Csakhogy kiderült, hogy nem így van. A világ nem euklideszi geometriának felel meg.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Még egy érdekes dolog. Ugye a fenti probléma még úgy érthető. Az axiómák triviálisnak tűnnek, de mégis csak a megfigyeléseinkből származnak. Ha egy háromszög szögeinek összegét mindig 180°-nak mérjük, akkor az annyi. Kész. Ha most nagyon nagy háromszög szögeinek összegét mérjük meg nagyon-nagyon pontosan, és azt kapjuk, hogy egy kicsivel eltér 180°-tól, akkor felül lehet bírálni azt a megfigyelésből származó, triviálisnak tartott kiindulópontot. Ha jól tudom ezt a mérést egyébként el is végezték, ami szintén bizonyítékként szolgál a relativitáselmélet helyessége mellett.

Viszont a matematikának van még egy érdekes fejleménye. Anno foglalkoztak a matematikusok a végtelen halmazokkal. Pl. megállapították, hogy a páros természetes számok halmazának számossága azonos a természetes számok számosságával. Ez kissé ellentmond a józan észnek, hiszen a páros természetes számok halmazából minden második szám hiányzik, ami benne van az természetes számok halmazában.

Viszont a halmaz elemei között egyértelmű és kölcsönös megfeleltetést lehet végezni. Minden n számnak megvan a páros számok halmazában a maga megfelelője, ami 2n. Illetve minden p páros számnak megvan a maga párja a természetes számok halmazában, ami p/2.

Sőt bebizonyosodott, hogy a racionális számok – amelyek felírhatóak p/q alakban – számossága is azonos a természetes számok számosságával. Ezt is fura elsőnek hallani, de lehet egyértelmű megfeleltetést végezni a kettő kötött. Lásd: [link] . Itt sorba lehet venni a racionális számokat. Megvan, hogy a cikk-cakk vonalon az n. szám melyik racionális számnak felel meg, illetve melyik racionális szám hányadik azon a cikk-cakk vonalon.

Oké. Georg Cantor viszont bebizonyította, hogy a valós számok számossága nagyobb, mint a természetes számok számossága. Lásd: [link]

Itt a lényeg, hogy ha találni vélnénk egy olyan megoldást, ami minden valós számot felsorol – és itt lényegtelen az, hogy mi az a módszer –, akkor tudunk kreálni egy – sőt végtelen sok – olyan valós számot, ami biztosan nem lehet benne ebben a felsorolásban.

A valós számok számossága tehát nagyobb, mint a természetes számoké. Nocsak. Kétféle végtelenünk van. Igazán nagyszerű, az ember azt érzi, hogy ez pontosan eggyel több, mint amire szüksége lett volna. :-)

Na jó, de ha van kétféle végtelen, akkor létezik-e többféle végtelen? Van-e pl. olyan számosság, ami nagyobb a természetes számok számosságánál, de kisebb a valós számok számosságánál? Pontosabban megfogalmazva, létezik-e a valós számoknak egy olyan végtelen részhalmaza, aminek a számossága sem a valós, sem a természetes számok számosságával nem egyenlő?

Cantor azt gondolta, hogy nincs. Ez egy hipotézis (magyarul feltételezés). Ez a híres kontinuumhipotézis.

Ennek a bizonyítása, vagy cáfolása egy komoly feladványnak tűnt. Azóta tudjuk ennek a feladványnak a megoldását. Egyfelől bizonyítást nyert, hogy az állítás nem cáfolható. Másfelől bizonyították azt is, hogy nem bizonyítható. Valljuk be ez azért eléggé váratlan és szokatlan megoldása a feladványnak.

Viszont észre kell venni, hogy ez egészen más tészta, mint ami a geometriánál volt. Ott volt többféle axiómarendszerünk, és rábíztuk a fizikára, hogy számára melyik írja le a világot. Itt viszont egyféle axiómarendszerünk van, és abból jön ki az, hogy akár igaznak véled a kontinuumhipotézist, akár nem, nem jutsz ellentmondásra. Nem lehet fizikailag igazolni egyiket vagy másikat, mert nem olyan jellegű a kérdés. Itt a matematika teljesen alap dolgairól van szó, a számokról és halmazokról. A fenti kijelentés – mely szerint nincs a valós számoknak olyan végtelen részhalmaza, amelynek a számossága eltér a valós és a természetes számok számosságától –, lóg a levegőben. Egy elérhetetlen lebegő sziget, aminek nem lehet a partjain kikötni. Ha axiómaként fogalmazod meg – vagy akár az ellentétét –, az semmilyen hatással nincs a matematika többi megállapítására.

Tulajdonképpen megszületett az első ténylegesen gödeli állítás, szerencsére itt bizonyítható volt a gödeli mivolta.

Persze ugye sokszor a matematika épít sejtésekre, hipotézisekre is. Simán lehet matematikailag levezetni, hogy „ha végtelen számú prím szám van, akkor ebből következi ez és ez az összefüggés”. Nem kell tudnod, hogy végtelen prímszám van-e, de ha igen, akkor következik. Ha valaki történetesen bizonyítja, hogy végtelen számú prímszám létezik – ezt amúgy pont Eukleidész már megtette –, akkor ez a levezetésed is bizonyítássá válik.

Viszont most először bizonyosodott be egy sejtésről, hogy se nem bizonyítható, se nem cáfolható. Szóval ma már óvatosnak kell lenni, külön meg kell nézni, hogy egy levezetés „véletlenül” nem épít-e Kontinuumhipotézisre.

Viszont itt be is fejezem a mesedélutánt. :) Maradjunk annyiban, hogy ki nem hiszi, járjon utána…

Ez nagyon tetszett! :taps

Most jöttem rá, hogy a matekot azért utáltam, mert nem jól (nem érdekesen) magyarázták.

Azért olvasnék még hasonlókat, bár gondolom, nem ezzel akarod tölteni a délutánodat, hogy ilyneket írogatsz.

De például azt írod, hogy kétféle végtelen van (mert megállapítást nyert, hogy az egyikben több szám van, mint a másikban.) NA DE: ha végtelenig elmehetünk, mert akkor se lesz vége, akkor elvileg nem lehet nagyobb, vagy kisebb végtelen, hiszen sosem lesz vége. Tehát ez egy elég fura állítás.

Pl: tegyük fel, hogy van 2 végtelen ideig utazó anyag az űrben, de az egyik lassabb a másiknál. Egy helyről indulnak, egyszerre. Ha végtelen idővel számolunk, nem mondhatjuk azt, hogy az egyik végtelenebb a másiknál, mert igaz, hogy az egyik lassabban, de mindig eljut oda, ahova a másik és ezt semmi sem fogja megtörni soha (ha akadályokkal nem számolunk). Szóval érted :D

Amiket írtam, azok a matematika valóban érdekes részei. Mondjuk úgy a mazsolák a matematika kuglófjában. Ehhez persze át kell rágnod magad a tésztán, hogy igazán megértsd. Viszont jobban megnézve az a tészta sem rossz ízű ám, azt is ugyanolyan élmény megenni.

A matematika oktatásunk én azt gondolom, hogy úgy rossz, ahogy van. Bár nem tudom pontosan hogyan lehetne jobbá tenni, de alapvetően problémák vannak vele. A probléma az, hogy különbség van megtanulás és megértés között.

Mondjuk ha most végigkérdeznék sok-sok nyolcadikost, hogy hogy kell törtet törttel osztani, akkor azért több, mint a felük valószínű idővel felszínre tudná hozni a betanult mondókát: „törttel törttel úgy osztunk, hogy a reciprokkal szorzunk”. Egy tanár szépen meg is simogatja a buksidat, hogy „látod, tudod te”.

De ha megkérdezném ugyanezeket a tanulókat, hogy miért kell így csinálni, akkor rendszerint olyan válaszokat kapnék, hogy „mert így tanították”, „mert így van”, „mert így kell és kész”. Nagyon kevés diák tudná mondjuk egy marék kaviccsal szemléletesen elmagyarázni, hogy mi ennek az oka, hogy a számoknak milyen tényleges viselkedése áll ezen szabály hátterében.

Tovább megyek. Ha a matektanárokat kérném meg, hogy magyarázzák el, hogy kell törttel osztani, valószínű a legtöbb elmagyarázná, hogy „ilyenkor azt kell csinálni, hogy”. Sejtésem szerint még a matektanárok egy jelentős része sem tudná elmondani, hogy miért így kell csinálni.

A matektanulás egyébként pont a törteknél szokott hotvágányba kanyarodni.

Még úgy a törtek előtt megkülönböztetnek két műveletet, az osztást és a bennfoglalást. Alapvetően két teljesen eltérő dologról van szó.

Az osztást a / jel jelzi. 12 / 3 azt fejezi ki, hogy ha van 12 almám, és ezeket három egyforma mennyiségű részre osztom fel, akkor egy részben hány alma van.

A bennfoglalást a : jel jelöli. 12 : 3 azt fejezi ki, hogy ha van 12 almám, akkor ebből hány olyan csoportot tudok létrehozni, amiben pontosan 3 alma van.

12 darab / 3 rész = 4 darab

12 darab : 3 darab = 4 rész

12/3 → [1,1,1,1] , [1,1,1,1] , [1,1,1,1]

12:3 → [1,1,1] , [1,1,1] , [1,1,1] , [1,1,1]

Viszonylag könnyen megérthető, hogy a kettő pusztán számokkal felírva miért ad azonos eredményt. Visszafele lejátszva az egyiknél 3 rész * 4 darab = 12, a másiknál 3 darab * 4 rész = 12. A szorzás felcserélhető, így teljesen mindegy, hogy 3*4-et, vagy 4*3-at írok, és hogy ebből melyik fejezi ki a részek számát, és melyik a részekben található almák számát.

Oké, eddig rendben. De pont a törteknél egyszerre két dolog történik:

Egyrészt eltűnik az osztás és a bennfoglalás művelete, helyét átveszi a vízszintes vonal. Ráadásul innentől már osztásnak hívunk mindent. „három !osztva! egyketteddel”.

Pont itt nem mindegy, hogy melyik műveletről van szó. Mennyi három osztva egyketteddel? Hát hogy lehet ezt elképzelni? Biztos el kell felezni azt a hármat, és ki is jön, hogy az eredmény 1 egész és 1/2. A tanár meg azt mondja, hogy hibás, mert nem kettővel osztunk, hanem egyketteddel. Illetve osztunk egyketteddel, és nem szorzunk. A diákok legtöbbjének innentől leszáll a köd, nem érti, a matematika valami mágiává alakul át a világképében, amiről tudja, hogy működik, de nem tudja, nem érti, hogy miért, és már nem is próbálja megérteni. Bemagolja az összefüggéseket, lehet, hogy jól is alkalmazza őket, sőt még kombinálni is tudja, ötöst is kap év végén, de igazából egy kukkot nem ért abból, amit csinál.

Akkor hogy is értelmezhető az az 3 !osztva! egyketteddel? Hát semmiképpen nem osztással. Viszont bennfoglalással teljesen világossá válik, hogy miről van szó. A kérdés itt nem az, hogy mennyi 3 osztva egyketteddel, hanem az, hogy a háromban hányszor van meg az egyketted. Nézzük egy egészben két fél található meg. Akkor 3 az annyi, mint [egész] + [egész] + [egész], tehát [fél+fél] + [fél+fél] + [fél+fél], tehát összesen hatszor van meg benne a fél.

Innen már magától érthetődő, hogy ha kisebb részekről van szó, azok többször találhatóak meg ugyanabban. Az 1/3 -háromszor annyiszor van meg valamiben, mint az egész. Az 1/4 meg négyszer annyiszor, az 1/5 meg ötször annyiszor. A 2/5 viszont kétszer akkora keresendő valamit jelent, tehát ezt fele annyi darabszámban találjuk meg. A 3/5 háromszor akkora rész, tehát harmadannyiszor lesz meg ugyanabban, mint az 1/5. Innen már kijön, hogy miért a reciprokkal kell szorozni.

Persze lehet, hogy ez a fenti leírás nem feltétlenül elég, hogy valaki megértse. Ha a tanuló őszinte, akkor fel is hozza, hogy érti, hogy hogyan kell csinálni, de nem érti még mindig, hogy miért így. Egy jó tanár ilyenkor újabb módot keres arra, hogy elmagyarázza. A rossz tanár meg nem ér rá, mert haladni kell az anyaggal, esetleg még téged szid le, hogy nem figyeltél, vagy azt mondja, hogy otthon olvasd el újra a könyvben, füzetben. A diákok többségében kiépül az a reflex, hogy inkább nem jelzi, ha valamit nem ért, mert általában nem lesz tőle okosabb, esetleg még kaphat valamiféle szankciót is, egy leszidást, extra házifeladatot. A rossz tanár – és az oktatás olyan, hogy kénytelenek a tanárok rossz tanárnak lenni – nem méri fel, hogy a diák érti-e, azt amit csinál, vagy csak megoldja a feladatokat.

Aki érti a matematikát, annak az egész iskolai matek szórakoztató. Ha órán lát valamit, akkor az születik meg benne, hogy „ó, hát ez nagyszerű, nem is gondoltam rá, de tök jó, hogy már ezt is értem”. Az ilyen diák a szíve mélyén ilyenkor tapsikol, mert valóban megértett a világról valamit. Aki viszont félrecsúszott a tanulás folyamatában, annak minden matekóra csak egy újabb bemagolandó, érthetetlen valamiről szól, amiből majd dolgozatot kell írni, ami nem jó, hiszen kétségek között őrlődsz, hogy jól sikerül-e a dolgozat, éppenséggel jól találtad-e el mondjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Az egész frusztrálttá, stresszessé tesz, nem csoda, hogy erős és mély utálat és gyűlölet fog el pusztán a matematika szó meghallásán is.

Sokszor az a gond, hogy mondjuk sokkal később okoz ez gondot. A diák sem érti, hogy nem érti, pláne nem tudja megmondani, hogy mit nem ért. Mondjuk hetedikre már annyira homály az egész, hogy elkezd egyes dolgozatokat írni. Ilyenkor aztán jön egy korrepetálótanár, aki az aktuális tananyagot próbálja a fejébe verni, kvázi bemagoltatni, begyakoroltatni vele. Ez az iskolai eredményeket nézve még lehet is eredményes, elérhet a tanuló egy kettest, akár egy hármast is. Látszólag megoldottuk a problémát.

De valójában a gyerek semmivel nem érti jobban a matekot, a megértés szempontjából az égadta világon semmit nem léptünk előre. Ehhez vissza kellene fordulni akár a harmadikos matekhoz is. De ez sem könnyű. A szülő is fel lesz háborodva, hogy miért a törteket gyakoroljuk, ha a gyereknek a trigonometrikus összefüggésekkel van a baja. A jegyek ettől nem kezdenek el látványosan javulni, mert a harmadikos anyagtól el kell jutni a hetedikesig, ami lassú folyamat. A tanulót is untatja, mert lehet, hogy jól bemagolta a képletet, és azt mondja, hogy „ezt már tudom”. Lehet, hogy tudja a képletet, tudja alkalmazni is, de a gond az, hogy nem érti, hogy valójában milyen tényleges, létező dolgok állnak mögötte.

"A 2/5 viszont kétszer akkora keresendő valamit jelent, tehát ezt fele annyi darabszámban találjuk meg. A 3/5 háromszor akkora rész, tehát harmadannyiszor lesz meg ugyanabban, mint az 1/5. Innen már kijön, hogy miért a reciprokkal kell szorozni."

Sajnos én itt elakadtam és a reciprokkal való szorzást még mindig nem tudom értelmezni. Ezt el tudnád magyarázni másképpen? Amúgy te tanár vagy?

> ha végtelenig elmehetünk, mert akkor se lesz vége, akkor elvileg nem lehet nagyobb, vagy kisebb végtelen, hiszen sosem lesz vége. Tehát ez egy elég fura állítás.

Iskolában nem tanítják így, még a fősulin sem igazán láttam ezt így megfogalmazni, de itt arról van szó, hogy a matematika különböző ágai használják a végtelen fogalmát, és egészen mást értenek alatta.

Az egyik a határérték számítás. Itt a végtelent olyan értelemben vesszük, hogy nem véges dologról van szó. Hova tart az x² kifejezés? Van-e maximuma ennek az értéknek? Nincs. Mondhatsz akármilyen nagy számot, tudok mondani olyan x-et, amire x² nagyobb ennél. Azt mondod, hogy az egymillió nagyon nagy szám? Hát tessék: 1001² nagyobb nála. Oké, akkor az trillió*trillió*trillió? Az egymilliárd plusz egy négyzete nagyobb nála. Akkor azt mondod, hogy googol (10-nek a századik hatványa), vagy azt mondod, hogy googolplex – 10-nek a googoladik hatványa, azaz 10^(10^100)? Tudok mondani olyan véges x-et, aminek a négyzete ennél nagyobb.

Sokszor a végtelent úgy képzeli el a véges dolgokhoz szokott agyunk, mint valami nagyon-nagyon-nagyon nagy számot. Pl. a világegyetemben található részecskék számának az milliomodik hatványa, na az már elég nagy, szinte végtelen. Pedig a végtelenhez képest ez az óriási, elképzelhetetlen szám gyakorlatilag szinte nulla.

A végtelen azt fejezi ki, hogy ha mondjuk sorba veszem a természetes számokat, akkor mindegyik elemnek van egy következő eleme. Mindegyiknek! Nincs olyan véges természetes szám, amit ne követne egy másik véges természetes szám. Szokták kérdezni sokszor, hogy pl. mi a π utolsó számjegye. Itt nem arról van szó, hogy nem tudjuk kiszámolni az utolsó számjegyet, mert ahhoz végtelen nagy számítógépet kellene építeni, vagy végtelen sokáig futtatni a programot, ami ezt kiszámolja, hanem maga a kérdés értelmetlen. A pi végtelen tizedes tört. Nincs utolsó számjegye.

Másik példa, amivel a végtelen érdekes viselkedésére szoktak rámutatni: Van egy végtelen sok szobából álló szálloda. Teltház van, minden szobában van valaki. Jön egy ember és kérdezi, hogy van-e szabad szoba. A recepciós azt mondja, hogy jelenleg nincs, de szívesen fel tudunk szabadítani Önnek egy szobát. Az első szobából átmegy a vendég a másodikba, a másodikból a harmadikba, a harmadikból a negyedikbe, és így tovább. Így az első szoba felszabadul. Ilyenkor szokták azt mondani, hogy de hova megy át az utolsó szobában lakó vendég. Nincs utolsó szoba. Minden szobánál van eggyel nagyobb sorszámú szoba. Egyébként ugyanez zajlódik le, ha végtelen számú új vendég érkezik. Az egyes szobából átmegy a vendég a kettesbe, a kettesből a négyesbe, a hármasból a hatosba, így az összes páratlan számú szoba felszabadul, márpedig ilyenből végtelen sok van.

Matematikailag kifejezve:

∞ + 1 = ∞

∞ + n = ∞

∞ + ∞ = ∞

stb…

Persze jönnek a problémásabb esetek is, pl. ∞-∞ vagy ∞/∞. Ezeket is szépen ki lehet fejteni, hogy ezeknél attól függ, hogy mi az eredmény, hogy milyen kifejezésnél vizsgáljuk. Pl. ha x a végtelen felé tart, azaz egyre nagyobb és nagyobb számokat írunk be x helyére, akkor az y=x² esetén az y is a végtelen felé tart, azaz egyre nagyobb és nagyobb eredményt ad. Meg az y=x esetén is a végtelen felé tart. Ha x a végtelen felé tart, akkor egy x²/x esetén az a ∞/∞ felé tart. Ennél ugye x²/x = x, tehát a ∞/∞ a végtelen felé tart. Viszont egy x/x² esetén is elmondható ez, hogy a számláló is a nevező is a végtelen felé tart, de a kifejezést egyszerűsítve 1/x-et kapunk, ami viszont a nullához tart. Tehát egyik esetbe ∞/∞ = ∞ , a másik esetben ∞/∞ = 0,. sőt a kettő között bármi elképzelhető.

Ez a határérték számítás. Itt a végtelen tehát annyi tesz, hogy nem véges.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Aztán van a halmazelméletben is végtelen. Itt ha sorba akarom venni egy végtelen halmaz elemeit, akkor ugyanúgy elmondható, hogy ezen sorbavétel esetén nincs utolsó elem, ami után ne következne még egy elem. Oké. A halmaz valóban végtelen számú elemből áll.

De vegyünk két végtelen számú elemből álló halmazt. Ha van olyan mód, hogy az A halmaz minden eleméhez tudunk rendelni egy – és csakis egy – jól meghatározott elemet a B halmazból, és viszont, a B halmaz minden eleméhez hozzá tudunk rendelni pontosan egy elemet az A halmazból, akkor a két halmaz bizonyos tulajdonsága megegyezik. Ezt a tulajdonságot nevezzük számosságnak. Ez nem teljesen ugyanazt a fogalmat takarja, mint a halmaz elemeinek száma, de véges esetben a kettő ugyanaz.

Ott van Cantor átlós eljárása. Ugye tegyük fel, hogy találni véltünk egy egyértelmű összerendezést a természetes számok és a valós számok 0 és 1 közötti részhalmaza között. Magyarán – bár nem pontosan – megfogalmazva sikerült besorszámoznunk a valós számokat. Írjuk is le őket.

1. → 0,826423…

2. → 0,61023

3. → 0,000201

4. → 0,66666

stb…

Oké. Most vegyük az első szám tizedes vessző utáni első számjegyét, meg vegyük a második szám második számjegyét, a harmadik szám harmadik számjegyét. Ezekből alkotunk egy számot, méghozzá úgy, hogy ha mondjuk az adott számjegy 0, akkor mi 1-et írunk az mi új számunk adott számjegyéhez. Ha az adott számjegy nem nulla, akkor meg 0-t írunk.

Pl. a mi sorozatunk esetén jelöljük az átlós számjegyeket:

1. → 0,[8]26423…

2. → 0,6[1]023

3. → 0,00[0]201

4. → 0,666[6]6

Az első számjegy nem nulla, tehát mi nullát írunk. A második sem nulla, tehát újabb nullát írunk. A harmadik számjegy nulla, tehát mi egyet írnunk, stb…

0,0010…

Így alkottunk egy kétségtelenül 0 és 1 közötti valós számot. Csakhogy ez nem lehet benne a felsorolásban. Hiszen ha az első lenne, akkor az első számjegyben nem egyezhet meg vele. Ha a második lenne, akkor a második számjegy nem egyezhet meg vele. Tehát nem lehet benne a felsorolásban. Így van egy olyan valós számunk, amihez a másik halmazból, a természetes számokból nem tartozik hozzá egyetlen elem sem. Tehát mintha több valós szám lenne, mint ahány természetes.

Ettől még mindkettő halmaz végtelen – nem véges számú – elemből áll, de a számosságuk eltér. A természetes számoknál lehet egy módszert találni, amivel sorba vehető az összes természetes szám. Ezért ezt megszámolhatóan végtelennek is hívjuk. A valós számoknál ilyen módszer – ahogy fent láttuk – nem létezhet, ezért szokták a megszámlálhatatlanul végtelent is használni.

Egyébként nem is a ∞ jelet szokták itt használni. A megszámlálhatóan végtelen – természetes számok – számosságára az ℵ₀ jelölést, a nem megszámlálhatatlanul végtelen – valós számok – számosságára az ℵ₁ jelölést használjuk.

Az egyik értelemben valóban nincs nagyobb a végtelennél, hiszen ha valami minden határon túl nő, akkor eléggé értelmetlen azt mondani ,hogy valami minden határon túlon túl is van. Viszont halmazelméleti szempontból két olyan halmaz közötti viszony esetén, aminek az elemszáma minden határon túl van, ott lehet különbség a két halmaz elemei között fennálló viszonyban.

> Sajnos én itt elakadtam és a reciprokkal való szorzást még mindig nem tudom értelmezni. Ezt el tudnád magyarázni másképpen? Amúgy te tanár vagy?

Ha lenne egy rajztáblám, könnyebb lenne. Most viszont a gépen nem szívesen kezdenék el rajzolni.

Nézzünk egy jobban elképzelhető példát. Van egy tortánk. Ott keressük, hogy hányszor van meg benne az 1/6-od. Természetesen 6-szor: 1 : (1/6) = 6, hiszen 1 = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6

Oké, most a 2/6-ot keressük. Ez kétszer akkora tömegű tortaszelet jelent, így érhetően fele annyiszor lesz meg benne. Az előző 6-es eredménynek csak a fele lesz, hiszen az a 2/6 két 1/6-nyi tortaszelet összecsomagolását jelenti.

1 = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6

1 = [ 1/6 + 1/6 ] + [ 1/6 + 1/6 ] + [ 1/6 + 1/6 ]

1 = [2/6] + [2/6] + [2/6]

Tehát 1 : (2/6) = 3

Ha háromszor akkora a tortaszeletünk, tehát a 3/6-ot keressük, hogy az hányszor van meg az egészben, akkor is ugyanez a helyzet. Mivel háromszorosa a tortaszeletünk az 1/6-nak, így csak harmadannyi alkalommal tudjuk kivágni az egészből:

1 = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6

1 = [ 1/6 + 1/6 + 1/6 ] + [ 1/6 + 1/6 + 1/6 ]

1 = 3/6 + 3/6

Tehát 1 : (3/6) = 2

Általánosítsuk. Ha meg akarjuk nézni, hogy valamiben (jelöljük a-val) hányszor van meg az n/m tört, akkor tudjuk, hogy az a-ban az egész pont a-szor van meg. Ha 1/m részekről van szó, akkor természetesen m-szer annyiszor fogjuk megtalálni, mint az egészeket. Tehát az 1/m összesen a*m-szer van meg a-ban. Viszont az n/m pontosan n-szer nagyobb szeleteket jelent, mint az 1/m, így n-ed annyi alkalommal tudjuk kivágni az a-ból. Tehát az a*m -et még el kell osztanunk azzal, amekkorák ezek a szeletek. Így a végén kijön logikusan – és remélem, hogy érthető módon –, hogy összesen a*m/n darab n/m méretű tortaszeletből áll az a darab torta. Ergo a : (n/m) = a * m/n

#15-16 vagyok.

Itt valamiről nagyon szó van, srácok... :))

Süsü, azt mondod a "törteknél" siklik el a didaktika/dialektika az iskolában.

Nagyon tetszik a felvetés, főleg hogy mástól még aligha hallottam erre vonatkozó konkrét gondolatokat.

De továbbvive a fonalat, nekem az a feltevésem él,

hogy már a szorzásnál is nagy csúsztatás történik.

Mert pl. 2*2=4. almákkal el is játsszatják velünk.

két alma >>meg<< két alma.

vagy két alma >>meg<< két alma >>meg<< két alma,

ami ugye három*két=hat alma.

tehát a szorzást az összeadás rövidítéseként tanuljuk!

2+2+2=3*2=6!

És ez kristály tisztának tűnik.

De aztán meglehetősen, igencsak nagyon furcsa műveleteket kezdünk el végezni a szorzással, ami már valójában marhára nem egyeztethető össze az almacsoportok sokszorosításával.

És az átverés egyszer csak, észrevétlenül, sunyi módon, a sinustételnél lepleződik le.

Csodával határosnak tartom, hogy észrevettem, de az az igazság, hogy valamilyen szerencse folytán engem mindig is zavart ezzel is, ahogy sok minden mással kapcsolatban is valami, már akkor, kisiskolás koromtól kezdve is.

>>Azt hiszem érdekes történetem e beszélgetés szempontjából: másodikosan vagy harmadikosan, nem is tudom mikor tanítják a szorzótáblát, megbuktam a szorzótáblából. Kisgyerekkori traumám volt, hogy sorra elégtelent (azt hiszem még csak fekete pontot) kaptam rá, és mindenki értetlenkedett fölöttem. Nagyon nehezen tanultam meg, én sem tudtam miért. Emlékszem, mondókákat találtam ki végső elkeseredésemben nagyon sok szorzásra, ami önmagától nem rímelt (mint a "hatszorhatazharminchat"). Ezzel együtt ezen kívül, ennek ellenére és ez után, a legjobb voltam matekból általános iskolában. nyolcadikig engem küldtek az osztályból minden versenyre és kábé egy ilyen közmém volt az, hogy én milyen különösen jó vagyok matekból.

Én tudtam hogy ez nem igaz, nem foglalkoztam a dologgal. De az érdeklődésemet mindig érvényesíteni akartam, és gimnáziumban el is jutottam odáig, hogy amiatt ellentmondásokba tudtam kerülni a tananyaggal. Nem voltam többé kimagaslóan jó matekból (kb. egy közepes négyes), de emlékszem a matektanárom meg is jegyezte nevetve, hogy "igen, ő mindig valami fura saját megoldással jutott az eredményre :D". A krach aztán a matekfakt volt, amit magyar helyett nagy dilemma után bevállaltam. Halvány fogalmam se volt hogy miről beszélnek itt, miközben deriválásig meg integrálásig vezettek minket. Miközben a faktos társaim még értelmes kérdéseket is tettek fel, és látszólag meglehetősen világos volt nekik a téma...

Egyetemen ugyanez folytatódott (-folytatódik, bár nagynehezen beadtam kettessel a matektárgyakat - igen, természettudományt választottam humán helyett, hasonló hosszú dilemmák után mint a faktválasztáskor).<<

Na de ennyit rólam, szóval a sinustétel, pontosabban a "trigonometrikus területképlet", ami vele összefügg:

>>>> A paralelogramma területe=a*b*sinβ.

Ami azt jelenti, hogy a közrezárt terület valahogyan a két oldal közös vetületének a bezárt szög által meghatározott tartománya. Világos, hogy derékszög esetén sin90°=1, tehát derékszögű dimenziókban a szorzat a*b*1.

Következésképpen 2*2 egyáltalán nem feltétlenül 4. és a szorzás művelete nem egyértelműen sokszorosítást jelent. 2*2 csakis akkor 4, ha derékszögű dimenziók interakciójáról van szó. amint nem derékszögű szorzatról van szó, 2*2 valamelyest kevesebb, attól függően hogy a sinust mennyivel csökkenti a deklinációjuk. És aztán később, egyszer csak, már még ettől is függetlenül, készen kapjuk a dimenziók fogalmát a képünkbe.

És ami a legjobban felzaklat ezzel az egésszel kapcsolatban az, hogy egy kisgyereknek ez pedig annyira megmozgatná a fantáziáját!... Állítom, hogy akkor sokkal hatékonyabban tudtam volna elképzelni, hogy mi történik, ha ferde dimenzió szerint szorozzuk az almákat. Így huszonévesen már annyi egyéb dogmával és elvárással károsították az agykérgemet, hogy kevésbé érzem át ennek a következményeit és az ebben rejlő lehetőségeket. Mert mi van?!, féltjük a gyerekeket hogy még elképzelnek olyan dolgokat amiket talán nem volna szabad?! Nehogy meglássák a gyerekek a világ működését, mert még a végén kreatívabbak lesznek, mint amilyenek mi vagyunk vagy lehettünk egyszer?!

a másik fele egyébként a pitegorasztétel általánosítása (hát nem az általánosból kéne levezetni a speciálisat és nem fordítva?... könyörgöm - az egész trigonometriát tartom egyébként a másik nagy felületes csúsztatásnak az oktatásunk során a tárgyalt számelméleten vagy logikán vagy micsodán kívül)

c*c=a*a+b*b-2(a*b*cosβ). A fenti után látjátok hogy ez is mennyire durva csavar a pitegorasztételen?............

Végül azt írnám még le, hogy Süsü említetted a ponton keresztül húzott párhuzamos ellenfeltételezéséből születő geometriát. Szeretném kiegészíteni, hogy euklidész 'csak egy párhuzamos húzható' axiómáját én úgy tudom egyenesen cáfolták (ez Bolyai és Lobacsevszkij hiperbolikus geometriája) avval, hogy a ponton keresztül húzott párhuzamos integrálja ugyanannyi, mint a ponton keresztül húzott egyenes integrálja. kábé S(y=c)=S(y=x*x). [S-sel az integrált jelöltem, minthogy az integrálás egyszerűen a szummázás folytonos számokon való értelmezése... ˘_˘]

Jó a matematikusok álláspontja inkább asszem az hogy ez nem cáfolat, ahogy te is írod, de én kettes voltam matekból, egyedül ez a része fogott meg eddig az analízisnek (kalkulusnak). ILLETVE pont ez az integrálás=szummázás dolog, a Zénón-paradoxonok cáfolata amivel Leibnizék megszülték a differenciálszámítást és szintén a valós/természetes avagy folytonos/diszkrét végtelenek problémájához kapcsolódik, de amit azután iskolában szintén senkinek nem kell értenie csak tudnia alkalmazni, illetve ami jelenleg a legmarhábbra zavar vele kapcsolatban, hogy a deriválás mi a frász miatt tűnik nekem annyira identikusnak az egyszerű "osztással". Egyúttal köszi hogy éppen az osztás/bennfoglalást elmagyaráztad, ez előttem is homályba burkolózott eddig. Amúgy azt írod, a törteknél két dolog történik egyszerre, de nem világos hogy akkor az most bennfoglalást jelent vagy osztást. Jó mondjuk talán a magyarázatod miatt tűnik világosnak előttem, hogy inkább bennfoglalást kell hogy jelentsen a tört alakzat. Nem tudnád egyébként elmondani hogy hogyan kapcsolódik ez az osztás dolog a deriváláshoz? azt hiszem egy igen nagy maki van itt elrejtve a dolog mögött...

Itt egy nemrégi kérdésem pont ehhez kapcsolódóan. Süsü, nagyon örülnék ha elolvasnád és esetleg hozzászólnál ha tudsz mert úgyéreztem kicsit egyoldalú a beszélgetés és neked talán lehet még hozzáfűznivalód (hosszúnak tűnik de gyorsan el lehet olvasni):

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__alkalmazott-tudoma..

KösZi! :)