Analízisben mit akar jelenteni az N (epszilontól függő) küszöbszám?

Az a küszöbszám, ahogy mondtad is. A sorozat annál nagyobb indexű tagjai (vagyis amelyekre n>N) epszilonnál közelebb vannak a határértékhez.

Ha van ilyen küszöbszám, akkor mondjuk, hogy a sorozat konvergens.

Vegyünk egy konkrét példát, hogy jobban átlátható legyen;

Ismerjük az a(n)=1/n sorozatot, és azt is tudjuk, hogy minél nagyobb számot írunk n helyére, annál "közelebb kerülünk" a 0-hoz, de azt sosem érjük el. Azért is egyszerű a dolgunk, mert ez egy szigorúan monoton csökkenő függvény, de az első megközelítés csak ilyenekre lesz igaz.

Rájöttek arra, hogy az ilyen sorozatok olyan tulajdonsággal bírnak, hogy ha mondanak egy értéket, akkor egy bizonyos tag után az előbb mondott érték és a 0 közé fog esni az összes tag. Például ha azt mondom, hogy a mondott érték 0,0001 legyen, akkor mi azt meg tudjuk mondani, hogy a 10001. tag már 0 és 0,0001 közé fog esni. Ezt bármilyen értékkel el lehet játszani, persze ha 0-nál nagyobb értéket mondunk. Tehát ha mondunk egy epszilon értéket, akkor mi tudunk mondani (legalább) egy olyan tagot, amelytől kezdve (vagy az után, ez függ a definíciótól) a többi tag a feltételezett határérték és a mondott szám közé esik, és ennek a tagnak a sorszámát hívjuk mi küszöb(index)nek. Tehát a fenti példában az epszilon=0,0001-re mi az n=10000-et tudjuk mondani, és a te jelölésedben ez az N (erre mondtam azt, hogy definíciófüggő, hogy az adott tag értéke lehet-e epszilon vagy sem; ha a(n)<=epszilon, akkor az epszilonnal egyenlő tag sorszáma lesz a küszöb, ha pedig csak egyenlőtlenség van, akkor az annál 1-gyel nagyobb sorszám lesz a küszöb, tehát most n=10001 lenne, de ez általában mindegy is szokott lenni).

Megeshet az is, hogy nem szigorúan monoton csökken a sorozatunk, hanem szigorúan monoton nő, például a -1/n sorozatnál, ekkor viszont epszilonra csak 0-nál kisebb számokat mondhatunk, hogy kijöjjön a fenti analógia, aztán arról még nem is esett szó, hogyha a sorozat oszcillálva konvergens, mint a sin(n)/(n), ott meg aztán már azt sem mondhatjuk, hogy a határérték alatt vagy felett vagyunk... Arról nem is beszélve, hogy sok esetben el sem dönthető egyszerűen egy sorozatról, hogy hogyan változik, szóval valami olyat kellene kitalálni, ami mindig működik.

Aztán azt találták ki, hogy ha van egy határértékünk, akkor arra fektetve egy szimmetrikus környezetet, akkor bizonyos tag után a sorozat ebben a sávban fog kóvályogni (ezzel kiküszöbölve azt, hogy vagy végig csak alatta van, vagy csak felette, vagy egyik sem, ez mindig működik - már ha van határérték); ezt valahogy úgy oldották meg, hogy ha az {a(n)} sorozatnak a határértéke H, akkor tetszőleges (pozitív) epszilonra egy bizonyos tagtól kezdve az összes tag a (H-epszilon;H+epszilon) intervallumban fog ugrálni, vagyis létezik egy olyan n, amelytől az {a(n)} sorozat azt tudja, hogy

H-epszilon<a(n)<H+epszilon, amit ha kicsit rendezünk, vagyis kivonunk belőle H-t, akkor

-epszilon<a(n)-H<epszilon, ez pedig már rövidebben is felírható úgy, hogy

|a(n)-H|<epszilon.

Másik megközelítés, ha ezt esetleg nem érted; nem kell nagy varázslat ahhoz, hogy észrevegyük, hogy ha az {a(n)} sorozat határértéke 0, akkor csak -epszilon és epszilon között kell vizsgálódnunk, vagyis igaz lesz egy bizonyos n után, hogy

-epszilon<a(n)<epszilon, vagy másként: |a(n)|<epszilon.

De mi van akkor, hogyha a sorozat határértéke nem 0, hanem mondjuk 5? Akkor nyilván az nem lesz igaz, amit fent leírtunk, mivel az csak akkor játszik, hogyha a határérték 0. Nosza, akkor vonjunk ki a sorozatból 5-öt, tehát a(n)-5 lesz a sorozatunkból, ezt nevezzük el valami b(n) sorozatnak, ekkor értelemszerűen a határérték is 0 lesz, tehát azt már mondhatjuk, hogy

|b(n)|<epszilon. Ha itt visszaírjuk b(n) helyére az a(n)-5-öt, akkor

|a(n)-5|<epszilon lesz belőle. Látható, hogy ugyanazt az alakot kaptuk, mint az előbb. Ez a megközelítés azért is jó, mert ha esetleg túl bonyolultnak gondolnánk ezt a felírást (avagy miért kell az a(n)-határérték a képletbe), akkor látjuk, hogy ezzel valójában csak visszavezetjük a feladatot egy olyan problémára, ahol a határérték 0 volt, és azzal könnyebben tudunk számolni.

Mit jelent az, hogy epszilon függvényében a küszöb: csupán csak annyit, hogy amikor felírod, hogy

|a(n)-H|<epszilon, akkor arra vagy kíváncsi, hogy ez milyen n esetén fog teljesülni (akárcsak akkor, mikor epszilon helyére egy konkrét számot írsz), tehát ebben az esetben az epszilont egy paraméterként kezeled, így már csak annyi a dolgod, hogy n>valamiepszilonostörténet-re rendezd az egyenlőtlenséget; ahogy beírsz epszilon helyére egy számot, máris megkapod, hogy melyik n választható küszöbszámnak, vagyis ezzel egy minden esetben használható képletet kapsz az adott sorozatra, ahelyett, hogy mindig felírnád az egyenlőtlenséget, és végigszámolnád egy konkrét epszilon-értékre. Ez a felírás arra is jó, hogy kimutasd, hogy a feltételezett határérték hamis, ez általában könnyen látható a végeredménynek kapott egyenlőtlenség alakjából.

'A' (metrikus) környezete az A-hoz valamilyen r számnál közelebb lévő számok halmaza. Ekkor r a környezet sugara.

Az "epszilonnál közelebb van" matematikai mefogalmazása az, hogy az epszilon sugarú környezetében van.

Így már remélem látod, hogy a definíciód ugyanazt jelenti, mint amit fentebb írtam.